[論文レビュー] Conditioning of Gaussian processes and a zero area Brownian bridge

Maik Görgens|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ブラウン運動が時間1でピン留めされ、積分面積がゼロであるように条件づけられるなど、複数の線形汎関数が消える条件のもとでガウス過程を一般化する。ギルサノフの定理と明示的なSDE導出を用いて、条件付き過程が時間に依存する非マルコフ過程のSDEに従うことを示し、ゼロ面積ブラウンブリッジがその主要な例となる。この例は、予測的および非予測的表現を用いて明示的に導出される。

ABSTRACT

We generalize the notion of Gaussian bridges by conditioning Gaussian processes given that certain linear functionals of the sample paths vanish. We show the equivalence of the laws of the unconditioned and the conditioned process and by an application of Girsanov's theorem, we show that the conditioned process follows a stochastic differential equation (SDE) whenever the unconditioned process does. In the Markovian case, we are able to determine the coefficients in the SDE of the conditioned process explicitly. Our main example is Brownian motion on $[0,1]$ pinned down in 0 at time 1 and conditioned to have vanishing area spanned by the sample paths.

研究の動機と目的

• 連続ガウス過程を点評価だけでなく、複数の線形汎関数が消える条件づけによってガウスブリッジを一般化すること。
• このような条件づけの下で、元の過程と条件付き過程の分布が等価であることを確立すること。
• ギルサノフの定理を用いて、条件付き過程の非予測的確率微分方程式（SDE）を導出すること。
• ゼロ面積ブラウンブリッジという新しい条件付き過程について、明示的な予測的および非予測的表現を提供すること。
• 2次元過程 (M_s, J_s) が時間に依存する非マルコフ過程であることを示すこと。

提案手法

• カルテートルの拡張定理を用いた正則条件付き確率により、ガウス過程 X を有限個の線形汎関数 a ∈ A が消える事象の下で条件づける。
• 有限時間区間における元の過程と条件付き過程の分布が等価であることを示すためにギルサノフの定理を適用する。
• ヒルベルト空間における直交射影を用いて、予測的表現を導出する。式 X^{(A)}_s = X_s - ∑_{i=1}^n ξ_i a_i(X) f_i(s) において、ξ_i は線形方程式系の解である。
• 漂移項を条件付き期待値の極限として計算することにより、非予測的SDEを導出する：δ(s,M) = lim_{r↓0} (𝔼[M_{s+r}|ℱ_s^M] - M_s)/r。
• 元の過程（例：ブラウン運動）のマルコフ性を用いて、条件づけの下でペア (M_s, J_s) がマルコフ的であることを示す。
• 共分散構造を含む連立線形方程式を解くことにより、条件付き期待値 𝔼[M_t|ℱ_s^M] を計算し、SDEにおける明示的な漂移係数を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガウス過程を、ブラウンブリッジのような点条件づけを越えて、積分がゼロとなるような複数の線形制約に一般化する方法は何か？
• RQ2 条件付き過程の分布が元の分布と等価であるための条件は何か？
• RQ3 ギルサノフの定理を用いて、条件付き過程の非予測的SDE表現を導出可能か？
• RQ4 ゼロ面積ブラウンブリッジのSDEにおける漂移項の明示的形は何か？
• RQ5 2次元過程 (M_s, J_s) は、条件付き測度の下でマルコフ的か？

主な発見

• ゼロ面積ブラウンブリッジ M は、M_0 = 0 および J_s = ∫₀^s M_x dx を満たす SDE dM_s = dW_s - 4M_s/(1-s) ds - 6J_s/(1-s)^2 ds を満たす。
• M の予測的表現は、M_s = W_s - s(3s - 2)W_1 - 6s(1-s)I_1 で与えられ、ここで I_1 = ∫₀¹ W_x dx である。
• すべての s < 1 に対して、測度 ℙ_W と ℙ_M は ℱ_s 上で等価であり、ギルサノフの測度変換の有効性を保証する。
• 2次元過程 (M_s, J_s) は、時間に依存する非マルコフ過程であり、D_s ξ = d_s を含む線形系を解くことで遷移期待値が決定される。
• 漂移係数 δ(s,M) は、条件付き期待値の極限により明示的に -4M_s/(1-s) - 6J_s/(1-s)^2 として計算される。
• 条件付き過程 M の共分散は、R_M(s,t) = R_W(s,t) - R_W(s,1)R_W(t,1)/R_W(1,1) + 積分制約を含む項として与えられ、標準的ブリッジ公式を一般化する。