[論文レビュー] Conditioning two diffusion processes with respect to their first-encounter properties

Alain Mazzolo, Cécile Monthus|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2022

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 123被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、相対エントロピー最適化を用いて、吸収時に発生する最初の遭遇の性質（消滅時刻や位置など）に関して、2つの独立した拡散過程を条件付けるためのフレームワークを構築する。ブラウン運動、オーナイズ・ウーレンプ過程、tanh-ドリフト過程の条件付きドリフトを導出し、レベル2.5における修正されたFokker-Planck力学および確率的制御理論を用いて、所定の最初の遭遇制約を満たす確率的経路の生成を可能にする。

ABSTRACT

We consider two independent identical diffusion processes that annihilate upon meeting in order to study their conditioning with respect to their first-encounter properties. For the case of finite horizon $T<+\infty$, the maximum conditioning consists in imposing the probability $P^*(x,y,T ) $ that the two particles are surviving at positions $x$ and $y$ at time $T$, as well as the probability $\gamma^*(z,t) $ of annihilation at position $z$ at the intermediate times $t \in [0,T]$. The adaptation to various conditioning constraints that are less-detailed than these full distributions is analyzed via the optimization of the appropriate relative entropy with respect to the unconditioned processes. For the case of infinite horizon $T =+\infty$, the maximum conditioning consists in imposing the first-encounter probability $\gamma^*(z,t) $ at position $z$ at all finite times $t \in [0,+\infty[$, whose normalization $[1- S^*(\infty )]$ determines the conditioned probability $S^*(\infty ) \in [0,1]$ of forever-survival. This general framework is then applied to the explicit cases where the unconditioned processes are respectively two Brownian motions, two Ornstein-Uhlenbeck processes, or two tanh-drift processes, in order to generate stochastic trajectories satisfying various types of conditioning constraints. Finally, the link with the stochastic control theory is described via the optimization of the dynamical large deviations at Level 2.5 in the presence of the conditioning constraints that one wishes to impose.

研究の動機と目的

• 2つの独立した拡散過程の最初の遭遇ダイナミクス（消滅時刻や空間的分布を含む）に関する一般化されたフレームワークの構築。
• 完全または部分的な最初の遭遇統計の知識を用いて、吸収を伴う系におけるドゥーブの条件付けおよびシュレーディンガーのブリッジ形式主義を拡張すること。
• 有限および無限時間区間における特定の過程（ブラウン運動、オーナイズ・ウーレンプ、tanh-ドリフト）の明示的条件付きドリフトの導出。
• レベル2.5における動的大偏差率関数の最適化を通じて、条件付けフレームワークと確率的制御を結びつけること。
• 有効ドリフトを備えた修正されたSDEを用いて、所定の最初の遭遇制約を満たすサンプルパスの生成を可能にすること。

提案手法

• 条件付き確率を、非条件付き伝搬関数と、条件付け制約を符号化する関数Q(x, y, t)の積として定式化する。
• 関係式µ∗(x, y, t) = µ(x) + 2D(x)∂x ln Q(x, y, t)を用いて条件付きドリフトを導出し、条件付け過程の新たなSDEの構築を可能にする。
• 相対エントロピー最小化を用いて、消滅時刻や位置の周辺分布など、詳細度の低い条件付け制約を扱う。
• 有限区間（T < ∞）および無限区間（T = ∞）の両方の設定を検討し、後者では生存確率S∗(∞) ∈ [0, 1]が正規化によって決定される。
• 非条件付き過程から条件付け過程のダイナミクスを導出するために、Fokker-Planckの前向きおよび後ろ向き方程式を用いる。
• レベル2.5における動的大偏差率関数の最適化を通じて、条件付けフレームワークと確率的制御の間の関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの独立した拡散過程をどのように条件付けすれば、それらの最初の遭遇時刻および位置が所定の同時分布に従うようにできるか？
• RQ2 所定の最初の遭遇分布と整合するサンプルパスを生成するために、2つの過程に適用すべき有効ドリフトは何か？
• RQ3 最初の遭遇分布の完全な指定から、相対エントロピー最小化を用いた詳細度の低い制約へと、条件付けフレームワークがどのように拡張されるか？
• RQ4 ブラウン運動、オーナイズ・ウーレンプ、tanh-ドリフト過程の各々について、最初の遭遇条件付け下での明示的ドリフト形は何か？
• RQ5 条件付けフレームワークは、レベル2.5における確率的制御および動的大偏差とどのように関連しているか？

主な発見

• 有限時間区間Tでは、最大の条件付けが、時刻Tにおける生存の同時分布P∗(x, y, T)と、中間時刻t ∈ [0, T]における消滅率γ∗(z, t)を固定する。
• 無限時間区間では、すべての有限時刻における最初の遭遇率γ∗(z, t)が固定され、生存確率S∗(∞) ∈ [0, 1]が正規化によって決定される。
• ブラウン運動の条件付きドリフトは、µ∗_X = (x−y) + (z∗−x)/(T∗−t) および同様にYについても成り立ち、目標消滅点に向かう時間依存の逆時刻ドリフトである。
• オーナイズ・ウーレンプ過程では、条件付きドリフトに平均回帰項−kxと、sinh[k(T∗−t)]および目標位置z∗を含む時間依存補正項が含まれる。
• tanh-ドリフト過程は、ブラウン運動と同一の条件付きドリフトをもたらすため、ドリフト構造そのものが条件付け行動を完全に決定しないことが示唆される。
• フレームワークは、レベル2.5における動的大偏差率関数の最適化を通じて、条件付けと確率的制御を成功裏に結びつけ、条件付けダイナミクスの変分原理を提供する。