[論文レビュー] Conditions for exact equivalence of Kaluza-Klein and Yang-Mills theories

Frank Reifler, Randall Morris|ArXiv.org|Jul 25, 2007

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 57被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ラグランジアンレベルにおいてカルラツァ＝クライン理論とヤン＝ミルズ理論が正確に等価となるための明確な数学的条件を確立する。ビスピノル場から導かれるテトラッドに基づくカルラツァ＝クラインモデルを分析することで、著者らは2つの主要な条件を特定した。第一に、カルラツァ＝クラインラグランジアンに現れるベクトル場は水平方向のものに限ること。第二に、スカラー曲率は垂直成分を除き、水平方向の断面曲率の和に制限されること。これにより、フェルミオンを含む既知のすべての場が、高次元の計量およびスカラー場の成分として統一可能となる。

ABSTRACT

Although it is well known that Kaluza-Klein and Yang-Mills theories define equivalent structures on principal bundles, the general conditions for equivalence of their Lagrangians have not been explicitly stated. In this paper we address the conditions for equivalence. The formulation of these conditions is based on previous work in which the Dirac and Einstein equations were unified in a tetrad formulation of the Kaluza-Klein model. This Kaluza-Klein model is derived from mapping a bispinor field to a set of SL(2,R) x U(1) gauge potentials and a complex scalar field. (A straightforward derivation of this map using Hestenes' tetrad for the spin connection in a Riemannian space-time is included in this paper.) Investigation of this Kaluza-Klein model reveals two general conditions for establishing an exact equivalence between Kaluza-Klein and Yang-Mills theories. The first condition is that only horizontal vector fields occur in the Kaluza-Klein Lagrangian. The second is that the scalar curvature be restricted to a sum over horizontal sectional curvatures. We conclude that all known fields (including fermion fields) can then be represented as components of a Kaluza-Klein metric together with scalar fields.

研究の動機と目的

• カルラツァ＝クライン理論とヤン＝ミルズ理論が主 bundle 上で既知の等価性を示すものの、それらのラグランジアンが等価となる一般条件を明確化すること。
• 両理論フレームワーク間の正確なラグランジアン等価性を示す明示的かつ一般的な条件の欠如を解消すること。
• テトラッド形式を用いて、重力、ゲージ場、スカラー場を含むすべての既知の場を、1つのカルラツァ＝クライン幾何的枠組みに統一すること。
• リーマン時空におけるゲージポテンシャルおよびスカラー場へのビスピノル場からの一貫した写像を導出すること。
• カルラツァ＝クライン作用が、等価性を保つためにスカラー曲率を水平断面曲率の和に制限する必要があることを示すこと。

提案手法

• ビスピノル場の写像に基づくリーマン時空におけるテトラッド形式を用いたカルラツァ＝クラインモデルを構築する。
• ヘステネスのテトラッドを用いて、ビスピノル場をSL(2,R) × U(1)ゲージポテンシャルおよび複素スカラー場へ写像する。
• カルラツァ＝クラインラグランジアンを水平ベクトル場のみを含むように制限し、ゲージ不変性およびヤン＝ミルズ構造との一貫性を保証する。
• スカラー曲率を垂直成分を除き、水平断面曲率の和として表現することで、等価性を維持する。
• 得られた幾何的構造を用いて、すべての既知の基本場を高次元計量およびスカラー場の成分として埋め込む。
• 主 bundle 構造および曲率分解の微分幾何的解析を通じて、等価条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カルラツァ＝クラインラグランジアンがヤン＝ミルズラグランジアンと正確に等価となる条件は何か？
• RQ2 フェルミオン場は、カルラツァ＝クライン幾何的枠組み内で一貫してどのように表現可能か？
• RQ3 水平ベクトル場および水平断面曲率は、両理論間の等価性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 テトラッドに基づくカルラツァ＝クライン理論の形式は、重力、ゲージ場、スカラー場を1つの幾何的構造に統一可能か？
• RQ5 ゲージ不変性および場の等価性を保つために、スカラー曲率に課すべき制約は何か？

主な発見

• 正確な等価性の第一条件は、カルラツァ＝クラインラグランジアンに水平ベクトル場のみが現れることであり、これによりヤン＝ミルズゲージ構造と整合性が保証される。
• 第二条件は、スカラー曲率が垂直成分を除き、水平断面曲率の和に制限されることである。
• これらの2条件が同時に満たされることで、カルラツァ＝クライン作用が対応するゲージ群のヤン＝ミルズ作用を再現することが保証される。
• フェルミオンを含むすべての既知の基本場は、これらの条件下でカルラツァ＝クライン計量およびスカラー場の成分として表現可能である。
• テトラッド形式により、ビスピノル場からSL(2,R) × U(1)ゲージ場および複素スカラー場への一貫したゲージポテンシャル写像が導出可能である。
• 本モデルは、重力、ゲージ場、スカラー場を1つの高次元リーマン枠組み内に幾何学的に統一する。