[論文レビュー] Conditions for zero duality gap in convex programming

Jonathan M. Borwein, Regina S. Burachik+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2012

Optimization and Variational Analysis参考文献 29被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、凸計画におけるゼロ双対ギャップを特徴付ける新しい二重条件を導入し、Bertsekasの条件や閉グラフ条件を含む既存の制約条件よりも制限が少ないことを証明している。主な貢献は、$\varepsilon$-部分微分の和の弱*-閉性に基づく十分条件であり、これが正確な双対性を保証し、凸関数の和の部分微分計算を簡略化する。

ABSTRACT

We introduce and study a new dual condition which characterizes zero duality gap in nonsmooth convex optimization. We prove that our condition is weaker than all existing constraint qualifications, including the closed epigraph condition. Our dual condition was inspired by, and is weaker than, the so-called Bertsekas' condition for monotropic programming problems. We give several corollaries of our result and special cases as applications. We pay special attention to the polyhedral and sublinear cases, and their implications in convex optimization.

研究の動機と目的

• 凸計画におけるゼロ双対ギャップを特徴付ける新しい双対条件を確立すること。
• この条件が、Bertsekasの条件や閉グラフ条件を含む既存のすべての制約条件よりも制限が少ないことを示すこと。
• 新しい閉性条件を用いて、凸関数の和の部分微分の表現を簡略化すること。
• 凸最適化における双対ギャップおよび部分微分計算に関する既存の結果を拡張・統一すること。

提案手法

• 関与する関数の$\varepsilon$-部分微分の和の弱*-閉性に基づく新しい双対条件を提案すること。
• Fenchel双対性およびインフィマム畳み込み理論を用いて、双対条件とゼロ双対ギャップ性質との関係を確立すること。
• Fenchel共役および正規凸集合作用素などの凸解析の結果を用いて、双対問題の構造を分析すること。
• Bertsekasの制約条件や閉グラフ条件といった既存の条件との間の関係を確立すること。
• 多面体的および劣線形関数の理論を用いて、特殊な場合および応用を導出すること。
• 新しい条件が、弱い連続性仮定の下で正確なインフィマム畳み込みおよび部分微分和則を示すことを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既存の条件よりも弱い仮定の下で、新しい双対条件は凸計画におけるゼロ双対ギャップを保証するか？
• RQ2 Bertsekasの制約条件および閉グラフ条件と比較して、新しい条件の強さはいかがなものか？
• RQ3 新しい条件を用いて、凸関数の和の部分微分計算を簡略化できるか？
• RQ4 閉グラフ条件は、新しい双対条件よりも厳密に強い条件か？
• RQ5 目的関数が$f + g \circ A$の形をとる問題へ、これらの結果はどのように拡張できるか？

主な発見

• 提案された双対条件—すべての$\varepsilon > 0$および$x \in S$に対して$\sum_{i=1}^{m} \partial_\varepsilon f_i(x)$の弱*-閉性—は、ゼロ双対ギャップの十分条件である。
• 文献に示された反例により、この条件がBertsekasの制約条件や閉グラフ条件よりも厳密に制限が少ないことが実証された。
• この条件により、正確なインフィマム畳み込みが保証される：双対空間において$(\sum_{i=1}^m f_i)^* = f_1^* \Box \cdots \Box f_m^*$が成り立つ。
• 多面体的および劣線形関数の場合は、条件がグラフの閉性に簡略化され、より強い仮定のもとで既知の結果が回復される。
• 新しい条件下で、部分微分和則$\partial(f_1 + \cdots + f_m) = \partial f_1 + \cdots + \partial f_m$が成立する。
• 本稿は、新しい条件が既存の双対性および部分微分計算の結果を統合・一般化することにより、未解決の問題を解決した。