[論文レビュー] Conditions implying the uniqueness of the weak$^*$-topology on certain group algebras

Matthew Daws, Hung Le Pham+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2008

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ひとこと要約

本稿では、特定の群代数、すなわち測度代数 $M(G)$ とフォーリエ代数 $A(G)$ の弱$^*$-位相が、それらの標準的前対双対によって一意に定まる条件を確立する。コアソシエイティブな乗法が弱$^*$-連続であることを仮定することで、$C_0(G)$ が $M(G)$ の一意な前対双対であり、$C^*(G)$ が $A(G)$ の一意な前対双対であることを証明し、双対コホモロジー的性質が位相の選択に依存せずwell-definedであることを保証する。

ABSTRACT

We investigate possible preduals of the measure algebra $M(G)$ of a locally compact group and the Fourier algebra $A(G)$ of a separable compact group. Both of these algebras are canonically dual spaces and the canonical preduals make the multiplication separately weak$^*$-continuous so that these algebras are dual Banach algebras. In this paper we find additional conditions under which the preduals $C_0(G)$ of $M(G)$ and $C^*(G)$ of $A(G)$ are uniquely determined. In both cases we consider a natural coassociative multiplication and show that the canonical predual gives rise to the unique weak$^*$-topology making both the multiplication separately weak$^*$-continuous and the coassociative multiplication weak$^*$-continuous. In particular, dual cohomological properties of these algebras are well defined with this additional structure.

研究の動機と目的

• 双対バナッハ代数における弱$^*$-位相の非一意性を解消し、標準的前対双対を固定する条件を同定すること。
• 局所コンパクト群 $G$ に対して、コアソシエイティブな積が弱$^*$-連続である場合、測度代数 $M(G)$ が $C_0(G)$ によって誘導される一意な弱$^*$-位相を持つことを示すこと。
• この一意性の結果を、分離可能なコンパクト群のフォーリエ代数 $A(G)$ に拡張し、$C^*(G)$ がホープ代数的演算が弱$^*$-連続となる唯一の等長的前対双対であることを証明すること。
• von Neumann代数に対しても、乗法がそれぞれの弱$^*$-連続性を満たす唯一の弱$^*$-位相が存在することを確立し、以前の可換な場合の結果を一般化すること。
• コホモロジー的不変量（例：コンヌ-アメニタリティ）が、複数の弱$^*$-位相による曖昧さを排除することで、well-definedであることを保証すること。

提案手法

• 弱$^*$-連続性を満たす余乗法の性質を用いて、$M(G)$ および $A(G)$ におけるコアソシエイティブなホップ代数構造が、可能な前対双対を制約すること。
• $M(G)$ および $A(G)$ における弱$^*$-位相を、それぞれ $ ilde{M}(G)$ および $VN(G)$ の $C^*$-部分代数である前対双対 $E$ と特定すること。
• ゲルファンド双対性およびスペクトル論を用いて、$E$ の字面空間が $G$ に位相的に同相であることを示し、$M(G)$ の場合に $E = C_0(G)$ を強制すること。
• ゲルファンド＝ナイマーク＝セーガール構成および表現論を用いて、$E$ のスペクトルをユニタリ双対 $\hat{G}$ と関連づけ、離散性および群構造との整合性を保証すること。
• アレンズ正則性および $\mathcal{B}(E)$ と $\mathcal{M}^*$ の双対構造を活用して、von Neumann代数における前対双対の一意性を証明すること。
• 背理法による証明：非標準的前対双対の仮定が、コアソシエイティブな積の弱$^*$-連続性またはスペクトルの離散性に矛盾することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測度代数 $M(G)$ の弱$^*$-位相がその標準的前対双対 $C_0(G)$ によって一意に定まるのはどのような条件下か？
• RQ2 分離可能なコンパクト群 $G$ のフォーリエ代数 $A(G)$ の標準的前対双対 $C^*(G)$ は、コアソシエイティブな乗法の弱$^*$-連続性によって一意に特徴付けられるか？
• RQ3 弱$^*$-位相の $M(G)$ における一意性は、非離散的な局所コンパクト群に対しても拡張可能か？ そして、どのような構造的制約がこれを強制するか？
• RQ4 コアソシエイティブなホップ代数的構造は、双対バナッハ代数の可能な前対双対をどのように制約するか？
• RQ5 von Neumann代数における弱$^*$-位相は、乗法のそれぞれの弱$^*$-連続性によって一意に定まるか？ これは前対双対の選択に依存しないか？

主な発見

• 任意の局所コンパクト群 $G$ に対して、コアソシエイティブな積が弱$^*$-連続である限り、測度代数 $M(G)$ は $C_0(G)$ によって誘導される一意な弱$^*$-位相を持つ。
• 分離可能なコンパクト群 $G$ のフォーリエ代数 $A(G)$ は、ホップ代数的演算が弱$^*$-連続となる唯一の等長的前対双対 $C^*(G)$ を持つ。
• $M(G)$ の標準的前対双対 $C_0(G)$ は、コアソシエイティブな積が弱$^*$-連続であり、かつ $E$ が $C^*$-部分代数であるような $\ell^\infty(G)$ の閉部分空間 $E \subseteq \ell^\infty(G)$ として唯一存在する。
• $A(G)$ に弱$^*$-位相を誘導する弱$^*$-閉 $C^*$-部分代数 $E \subseteq VN(G)$ のスペクトルは、常に離散的であり、$\hat{G}$ に位相的に同相であるため、$E = C^*(G)$ を強制する。
• von Neumann代数は、乗法がそれぞれの弱$^*$-連続性を満たす唯一の弱$^*$-位相を持ち、この位相は自動的に随伴作用が弱$^*$-連続であることを保証する。
• 双対バナッハ代数における弱$^*$-位相は、代数がアレンズ正則であり、その二重双対で単位的であり、かつその二重双対のイデアルである場合に、一意に定まる。