[論文レビュー] Conductors and minimal discriminants of hyperelliptic curves with rational Weierstrass points

Padmavathi Srinivasan|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、特徴が 2 でない完全な残渣体をもつ離散付値環上に定義された、任意の genus $g \geq 1$ の超楕円曲線について、すべてのワイエルシュトラス点が $K^{\mathrm{sh}}$-有理であるとき、最小の固有正則モデルの負アーティン導分岐数が最小判別式によって上から有界であることを確立する。主な結果は $-\operatorname{Art}(\mathcal{X}/S) \leq \nu(\Delta)$ であり、リウの genus 2 の結果を有理ワイエルシュトラス点の下で任意の genus に拡張するものである。

ABSTRACT

Let $C$ be a hyperelliptic curve of genus $g$ over the fraction field $K$ of a discrete valuation ring $R$. Assume that the residue field $k$ of $R$ is perfect and that $\mathop{ extrm{char}} k eq 2$. Assume that the Weierstrass points of $C$ are $K$-rational. Let $S = \mathop{ extrm{Spec}} R$. Let $\mathcal{X}$ be the minimal proper regular model of $C$ over $S$. Let $\mathop{ extrm{Art}} (\mathcal{X}/S)$ denote the Artin conductor of the $S$-scheme $\mathcal{X}$ and let $ν(Δ)$ denote the minimal discriminant of $C$. We prove that $-\mathop{ extrm{Art}} (\mathcal{X}/S) \leq ν(Δ)$. As a corollary, we obtain that the number of components of the special fiber of $\mathcal{X}$ is bounded above by $ν(Δ)+1$.

研究の動機と目的

• ワイエルシュトラス点が $K^{\mathrm{sh}}$-有理であるという条件下で、リウの不等式 $-\operatorname{Art}(C/K) \leq \nu(\Delta)$ を genus 2 から任意の genus の超楕円曲線に拡張すること。
• このような曲線について、負アーティン導分岐数の均一な上界を最小判別式の言語で確立すること。
• ファイバー型の個別分類を避け、モデル理論的かつ組合せ論的証明を提供すること。具体的には、明示的な正則モデルと双対グラフを用いること。
• 最小正則モデルの特別ファイバーにおける成分数の最小判別式を用いた上界を導出すること。

提案手法

• ワイエルシュトラス点の特化を分離するために $\mathbb{P}^1_R$ を繰り返し吹き上げることで、曲線 $C$ の明示的固有正則モデル $X$ を構成し、その後関数体 $C$ における正規化をとること。
• 公式 $-\operatorname{Art}(X/S) = n(X) - 1 + \tilde{f}$ を用いる。ここで $n(X)$ は特別ファイバーの成分数、$\tilde{f}$ は $\ell$-進ガロア表現の導分岐数である。
• 双対グラフ $T_B$ の頂点によってインデックスづけられた局所的寄与を用いて、構成されたモデルのデリーニュ判別式を定義し、計算すること。
• 特別ファイバーの双対グラフ $T_B$ を分析し、頂点の重み、次数、成分の型に基づいて判別式を局所的項に分解すること。
• 頂点の寄与を分析し、重みおよび成分数の制約から導かれる不等式を用いて、デリーニュ判別式と最小判別式の差を上から抑え込むこと。
• 最終的なモデルの最小性を用い、すべての頂点における局所的上限を合算することで、主不等式 $-\operatorname{Art}(\mathcal{X}/S) \leq \nu(\Delta)$ を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのワイエルシュトラス点が $K^{\mathrm{sh}}$-有理であるとき、任意の genus の超楕円曲線について不等式 $-\operatorname{Art}(\mathcal{X}/S) \leq \nu(\Delta)$ が成り立つかどうか。
• RQ2 構成された正則モデルについてデリーニュ判別式を明示的に計算できるか。また、最小判別式と比べてどうなるか。
• RQ3 特別ファイバーの双対グラフにどのような条件が成立すれば、等式 $-\operatorname{Art}(\mathcal{X}/S) = \nu(\Delta)$ が成立するか。
• RQ4 最小正則モデルの特別ファイバーにおける成分数は、最小判別式とどのように関係するか。

主な発見

• 最小固有正則モデルの負アーティン導分岐数は $-\operatorname{Art}(\mathcal{X}/S) \leq \nu(\Delta)$ を満たし、有理ワイエルシュトラス点の下でリウの genus 2 の結果を任意の genus に一般化する。
• 最小固有正則モデルの特別ファイバーにおける既約成分数 $n$ は $n \leq \nu(\Delta) + 1$ を満たす。
• 等式 $-\operatorname{Art}(\mathcal{X}/S) = \nu(\Delta)$ が成り立つのは、構成されたモデルが最小であり、かつ双対グラフ $T_B$ が厳密な位相的および重みの制約を満たすとき、かつ高さが 2 以下で、頂点の次数が有界であるときである。
• 導分岐数 $\tilde{f}$ が消えるのは、曲線 $C$ のヤコビアンが良い還元をもつときであり、そのとき $n = \nu(\Delta) + 1$ である。
• モデル $X$ が最小でないのは、その双対グラフに、偶数の子をもたない奇数の頂点が存在し、1つの偶数の子をもち、$l'_v$-寄与が 0 であるときである。
• ファイバー型の分類を回避するため、明示的な吹き上げ構成と双対グラフ解析を用いた証明であり、ナミカワ＝ウエノ型の分類の必要性を回避する。