[論文レビュー] Cone metric spaces and fixed point theorems of T-Kannan contractive mappings

J. R. Morales, Edixon Rojas|ArXiv.org|Jul 22, 2009

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 5被引用数 52

ひとこと要約

本稿では、完備な錐距離空間におけるT-カナンおよびT-チャタージェアの収縮写像の不動点の存在および一意性の十分条件を確立している。これはカナンとレザプールの古典的結果を一般化したものである。制御関数Tを用いてT-カナンおよびT-チャタージェアの収縮を導入し、正規錐および連続性の仮定の下で反復列が唯一の不動点に収束することを証明している。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to obtain sufficient conditions for the existence of a unique fixed point of T-Kannan type mappings on complete cone metric spaces depended on another function.

研究の動機と目的

• T-カナン収縮写像の枠組みを用いて、カナンの不動点定理を錐距離空間へ一般化すること。
• 錐距離空間の文脈においてT-チャタージェア収縮写像を導入し、その解析を行うこと。
• 反復列が完備な錐距離空間内で唯一の不動点に収束する条件を確立すること。
• 文献[3]および[4]の先行結果を、制御関数Tを組み込み、正規性の仮定を緩和することで拡張すること。
• T-収縮写像を用いて、錐距離空間における不動点定理を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 写像 T: M → M を用いて、完備な錐距離空間 (M,d) 上でT-カナンおよびT-チャタージェアの収縮を定義する。
• T-カナン写像に対して収縮条件：d(TSx,TSy) ≤ b[d(Tx,TSx) + d(Ty,TSy)] を用い、b ∈ [0, 1/2) とする。
• T-チャタージェア写像に対して収縮条件：d(TSx,TSy) ≤ c[d(Tx,TSy) + d(Ty,TSx)] を用い、c ∈ [0, 1/2) とする。
• 正規錐の性質と正規定数Kを用いて、距離列のノルムを有界化する。
• 反復列 (xₙ) = Sⁿx₀ を構築し、h = c/(1−c) を用いた幾何的減衰を介して (TSⁿx₀) の収束を分析する。
• TSⁿx₀ がM内でコーシー列であることを証明し、Mが完備であるため、あるv ∈ Mに収束する。これにより不動点の存在が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完備な錐距離空間におけるT-カナン収縮写像Sが、どのような条件下で唯一の不動点をもつのか。
• RQ2 制御関数Tの導入が、錐距離空間における反復列の収束にどのように影響するか。
• RQ3 カナンおよびチャタージェアの不動点定理は、T-収縮写像を用いて錐距離空間へ拡張可能か。
• RQ4 正規錐の性質が、不動点の収束性および一意性の証明において果たす役割は何か。
• RQ5 Tの連続性および逐次収束性が、(Sⁿx₀) が不動点に収束する過程に与える影響は何か。

主な発見

• 正規錐および連続的かつ単射なTを有する完備な錐距離空間におけるT-カナン収縮写像Sに対して、列 (TSⁿx₀) はM内のあるvに収束する。
• Tが部分列収束性を有するならば、(Sⁿx₀) は収束部分列を有し、Tが逐次収束性を有するならば、(Sⁿx₀) は唯一の不動点uに収束する。
• Sの不動点uはSu = uを満たし、与えられたT-カナン収縮条件のもとで一意的である。
• d(TSⁿx₀, TSⁿ⁺¹x₀) の収束速度は幾何的であり、hⁿ‖d(TSx₀, TSx₁)‖ で有界で、h = b/(1−b) < 1 である。
• Tが恒等写像である場合、結果は完備距離空間におけるカナンの元の不動点定理に還元される。
• 例2は、[0,1] 上でSx = x/2、Tx = x² であるとき、Sは標準的カナン収縮でないがT-カナン収縮であることを確認しており、不動点は0に一意に存在する。