[論文レビュー] Cone spherical metrics and stable vector bundles

Lingguang Li, Jijian Song+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、 genus $g > 1$ のコンpakトなリーマン面における、整数倍の尖度角 $2 ilde{\pi}\mathbb{Z}_{>1}$ を持つ非可約な円錐球面計量と、安定なランク2ベクトル束の線分束との間の対応関係を確立する。また、線分束の安定な拡張に関するランゲ型の存在定理を証明し、この代数的枠組みを用いて、新たなクラスの非可約球面計量を構成する。

ABSTRACT

Cone spherical metrics are conformal metrics with constant curvature one and finitely many conical singularities on compact Riemann surfaces. A cone spherical metric is called irreducible if each developing map of the metric does not have monodromy lying in ${ m U(1)}$. We establish on compact Riemann surfaces of positive genera a correspondence between irreducible cone spherical metrics with cone angles being integral multiples of $2π$ and line subbundles of rank two stable vector bundles. Then we are motivated by it to prove a theorem of Lange-type that there always exists a stable extension of $L^*$ by $L$, for $L$ being a line bundle of negative degree on each compact Riemann surface of genus greater than one. At last, as an application of these two results, we obtain a new class of irreducible spherical metrics with cone angles being integral multiples of $2π$ on each compact Riemann surface of genus greater than one

研究の動機と目的

• コンパクトなリーマン面の genus $g > 1$ における、整数倍の尖度角 $2\pi\mathbb{Z}_{>1}$ を持つ非可約な円錐球面計量と、安定なランク2ベクトル束の線分束との間の対応関係を確立すること。
• 線分束 $L$ が負の次数を持つような genus $g > 1$ の曲面上で、$L^*$ への $L$ の安定な拡張の存在に関するランゲ型定理を証明すること。
• この対応関係と存在結果を応用し、任意の genus より大きい1のコンパクトなリーマン面上に、整数倍の尖度角をもつ新たなクラスの非可約円錐球面計量を構成すること。

提案手法

• 円錐球面計量の発展写像を用い、そのモノドロミーを $\mathrm{PSU}(2)$ 内のユニタリ表現に結びつけ、非可約計量を特徴付ける。
• パラボリックバンドルおよび安定なベクトル束の理論を適用し、特に、自明な決定因子をもつ安定なランク2バンドルの線分束に注目する。
• 層の拡張や局所モジュール分解を含む代数幾何学的手法を用い、ベクトル束およびその部分束の構造を分析する。
• モジュライ空間における安定性の開性を用いて、層の一般な拡張が安定なバンドルをもたらすことを示す。
• ガウス・ボンネの公式と曲率制約を適用し、定曲率1および円錐特異点をもつ計量が得られることを保証する。
• 単位元モノドロミーおよび円錐点の除数に等しい分岐除数をもつ射影的関数を用いて計量を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなリーマン面の genus $g > 1$ において、尖度角が $2\pi\mathbb{Z}_{>1}$ に属する非可約な円錐球面計量と、安定なランク2ベクトル束の線分束との間に一対一対応が存在するか？
• RQ2 線分束 $L$ が genus $g > 1$ の曲面上で負の次数を持つとき、$L^*$ への $L$ の安定な拡張の存在に関するランゲ型定理を証明できるか？
• RQ3 計量と安定なバンドルの間の対応関係が、任意の genus より大きい1のコンパクトなリーマン面上で、整数倍の尖度角をもつ新たな非可約円錐球面計量の構成を可能にするか？

主な発見

• コンパクトなリーマン面の genus $g > 1$ において、尖度角が $2\pi\mathbb{Z}_{>1}$ に属する非可約な円錐球面計量と、自明な決定因子をもつ安定なランク2ベクトル束の線分束との間には、一対一対応が存在する。
• 任意の負の次数をもつ線分束 $L$ に対して、コンパクトなリーマン面の genus $g > 1$ 上で、$L^*$ への $L$ の安定な拡張が存在する。これは、古典的なランゲの結果を一般化する。
• 任意の genus より大きい1のコンパクトなリーマン面上に、尖度角が $2\pi\mathbb{Z}_{>1}$ に属する新たなクラスの非可約円錐球面計量が存在する。
• この構成は、安定な拡張の存在およびパラボリックバンドルの代数的構造に依存しており、モノドロミー条件によって計量が非可約であることが保証される。
• 一般に、モジュライ空間内の層の拡張が安定なバンドルを生成することを示す手法は、代数幾何学における安定性の開性を活用している。
• 本研究の結果は、整数尖度角をもつ非可約球面計量を完全に代数的枠組みで構成するための包括的なフレームワークを提供し、特殊な場合において長年の存在問題を解決する。