[論文レビュー] Cones over pseudo-Riemannian manifolds and their holonomy

Dmitri V. Alekseevsky, Vicente Cortés+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、擬リーマン多様体上の計量錐のホロノミー性質を調査し、ギャロの古典的なリーマン的結果を不定符号に拡張する。コンパクトかつ完全な擬リーマン多様体上の錐は、平坦であるか、あるいは分解不能ホロノミーを持つことが示され、ローレンツ型の場合および補完的同一方向分布を有する錐について、局所的ホロノミー代数を完全に分類する。

ABSTRACT

By a classical theorem of Gallot (1979), a Riemannian cone over a complete Riemannian manifold is either flat or has irreducible holonomy. We consider metric cones with reducible holonomy over pseudo-Riemannian manifolds. First we describe the local structure of the base of the cone when the holonomy of the cone is decomposable. For instance, we find that the holonomy algebra of the base is always the full pseudo-orthogonal Lie algebra. One of the global results is that a cone over a compact and complete pseudo-Riemannian manifold is either flat or has indecomposable holonomy. Then we analyse the case when the cone has indecomposable but reducible holonomy, which means that it admits a parallel isotropic distribution. This analysis is carried out, first in the case where the cone admits two complementary distributions and, second for Lorentzian cones. We show that the first case occurs precisely when the local geometry of the base manifold is para-Sasakian and that of the cone is para-Kählerian. For Lorentzian cones we get a complete description of the possible (local) holonomy algebras in terms of the metric of the base manifold.

研究の動機と目的

• リーマン的錐に関するギャロの定理を不定符号を有する擬リーマン多様体へ一般化すること。
• 錐の分解可能または可約ホロノミーを示す場合の、基底多様体の局所的および大域的幾何を特徴付けること。
• ローレンツ型錐および平行同一方向分布を有する錐のための可能なホロノミー代数を分類すること。
• コンパクトかつ完全な擬リーマン多様体上の錐が平坦であるか、あるいは分解不能ホロノミーを持つための条件を確立すること。

提案手法

• 計量錐 $\widehat{M} = \mathbb{R}^+ \times M$ と計量 $\widehat{g} = dr^2 + r^2 g$ のホロノミー代数を分析する。
• ホロノミーの分解可能性を基底多様体の局所的積構造に関連付けるために、ウーの定理を用いる。
• 測地線および錐上の平行分布を研究するための微分幾何的技法を適用する。
• 形態 $g = -ds^2 + \mathrm{e}^{-2s}g_N$ または $g = ds^2 + \cos^2 s\, g_1 + \sin^2 s\, g_2$ の局所的計量分解を導出する。
• 二重ワープド積のホロノミーに関する [Lei06] の結果を応用し、ホロノミー代数の構造を導く。
• ベクトル場 $\tilde{Z}$ に関連する関数 $\alpha$ の勾配を用いて、局所的ファイブレーションおよび計量分解を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬リーマン錐のホロノミーが分解可能となる条件は何か？ また、その基底多様体の構造はいかなるものか？
• RQ2 コンパクトかつ完全な擬リーマン多様体上の錐が平坦幾何を有するのはいつか？
• RQ3 完全な多様体上のローレンツ型錐のための可能なホロノミー代数は何か？
• RQ4 錐上に平行な同一方向分布が存在する場合、基底の幾何にどのような制約が生じるか？
• RQ5 錐のホロノミーが分解不能ではあるが可約である場合、基底の局所的幾何はどのように特徴づけられるか？

主な発見

• 完全な擬リーマン多様体上の錐が分解可能ホロノミーを持つならば、その基底はホロノミー代数 $\mathfrak{so}(p,q)$ を完全に持つ。
• 基底多様体は局所的に $g = ds^2 + \cos^2 s\, g_1 + \sin^2 s\, g_2$ または $g = -ds^2 + \mathrm{cosh}^2 s\, g_1 + \mathrm{sinh}^2 s\, g_2$ の形の計量分解を有する。
• コンパクトかつ完全な基底に対しては、錐は平坦であるか、あるいは分解不能ホロノミーを持ち、その基底は一定の截曲率 1 を持つ。
• 錐が補完的平行同一方向分布を2つ有する場合、基底はパラササキアンであり、錐はパラケーラー的である。
• ローレンツ型の場合、錐のホロノミー代数は $\mathfrak{hol}(N,g_N) \ltimes \mathbb{R}^{\dim N}$ に同型であり、$g_N$ は関数 $\alpha$ の等高面にリーマン計量として誘導される。
• 完全なローレンツ型基底に対しては、局所的計量分解が $\widehat{g} = 2dxdy + y^2 g_N$ に大域的に拡張され、$\alpha = e^{-s}$ かつ $s \in \mathbb{R}$ となる。