[論文レビュー] Confidence bands for densities, logarithmic point of view

Abdelkader Mokkadem, Mariane Pelletier|ArXiv.org|Jun 21, 2006

Statistical Methods and Inference参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、中程度偏差原理（MDP）を用いて確率密度関数のための新しい信頼帯構築法を提案し、BickelとRosenblatt（1973）の手法と比較して優れた漸近的水準を達成する。MDPを活用することで、帯内のすべての点별区間が同じ対数的漸近的水準を持つことを保証し、次元間での一様なカバー率を実現するとともに、密度が消える領域に対応するための切断操作を用いる。

ABSTRACT

Let $f$ be a probability density and $C$ be an interval on which $f$ is bounded away from zero. By establishing the limiting distribution of the uniform error of the kernel estimates $f_n$ of $f$, Bickel and Rosenblatt (1973) provide confidence bands $B_n$ for $f$ on $C$ with asymptotic level $1-α\in]0,1[$. Each of the confidence intervals whose union gives $B_n$ has an asymptotic level equal to one; pointwise moderate deviations principles allow to prove that all these intervals share the same logarithmic asymptotic level. Now, as soon as both pointwise and uniform moderate deviations principles for $f_n$ exist, they share the same asymptotics. Taking this observation as a starting point, we present a new approach for the construction of confidence bands for $f$, based on the use of moderate deviations principles. The advantages of this approach are the following: (i) it enables to construct confidence bands, which have the same width (or even a smaller width) as the confidence bands provided by Bickel and Rosenblatt (1973), but which have a better aymptotic level; (ii) any confidence band constructed in that way shares the same logarithmic asymptotic level as all the confidence intervals, which make up this confidence band; (iii) it allows to deal with all the dimensions in the same way; (iv) it enables to sort out the problem of providing confidence bands for $f$ on compact sets on which $f$ vanishes (or on all $\bb R^d$), by introducing a truncating operation.

研究の動機と目的

• 既存の手法の漸近的水準を改善する確率密度関数のための信頼帯構築の新しい手法を開発すること。
• 帯内のすべての点別信頼区間が同じ対数的漸近的水準を持つようにすることにより、一様性と解釈可能性を向上させること。
• すべての次元に一様に適用可能な構築法を提供し、次元ごとの調整を回避すること。
• 密度が消えたり非常に小さい領域があるコンパクト集合上での信頼帯の構築という課題に、切断操作を用いて対処すること。
• バイアス補正を明示的に行わないようにし、わずかな過小スムージングを用いることで、カバー率誤差の効率性を向上させること。

提案手法

• 核密度推定量の正規化された一様誤差を分析するために中程度偏差原理（MDP）を用い、極限分布への依存を排除する。
• 信頼領域がほとんど確実にカバーする指数的レートを定量化するための対数的漸近的水準の概念を導入する。
• MDPを応用して、BickelとRosenblatt（1973）と同等またはより狭い幅でありながら、より優れた漸近的水準を持つ信頼帯を導出する。
• 密度がゼロまたは非常に小さい領域に対応するため、コンパクト集合や$\mathbb{R}^d$全体での有効な推論を可能にするために、切断操作を適用する。
• 被覆数条件と集中不等式（例：GinéとGuillou, 2002）を用いて、核推定量の尾部における上界偏差を制御する。
• 核関数と密度関数にやや弱い正則性条件を課すと、点別と一様なMDPが漸近的に同等であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中程度偏差原理を用いることで、古典的手法と比較して、密度推定量の信頼帯の漸近的水準を改善できるか？
• RQ2 MDPを適用した場合、一様信頼帯内のすべての点別信頼区間が同じ対数的漸近的水準を持つのか？
• RQ3 MDPに基づく手法は、密度が消えるコンパクト集合上での密度推定に対応できるか？バイアス補正は不要か？
• RQ4 提案手法は次元に依存しないか？$\mathbb{R}^d$ 全体にわたる一様な取り扱いが可能か？
• RQ5 MDP枠組み下で、カバー率誤差の収束速度は対数的漸近的水準の観点からどの程度か？

主な発見

• 提案された信頼帯は、BickelとRosenblatt（1973）と比較してより優れた漸近的水準を達成し、幅は同等またはそれ以下である。
• 信頼帯内のすべての点別区間が同じ対数的漸近的水準を持つため、定義域全体にわたる一貫したカバー行動が保証される。
• 手法は次元に依存せず、任意の次元$d$における密度推定を統一的に取り扱える。
• 切断操作の使用により、$f$が消えるコンパクト集合上でも有効な信頼帯が得られ、古典的手法の主な限界を克服できる。
• MDP条件下で、信頼帯の対数的漸近的水準が$-\gamma$（$ olimits \gamma > 0$）に等しく、速度が$w_n$であることが示された。
• 明示的なバイアス補正を回避するため、わずかな過小スムージングを用いるが、これはバイアス補正よりもカバー率誤差を最小化する上でより効率的であることが示された。