[論文レビュー] Confidence intervals for high-dimensional Cox models

Yi Yu, Jelena Bradić+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2018

Statistical Methods and Inference参考文献 23被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、p ≫ n の高次元コックスモデルに対するデバイアス化手法を提案し、スパース精度行列の修正CLIME推定量と1ステップデバイアス推定量を用いて、回帰係数の漸近的有効な信頼区間を構築する。主な貢献は、無限時間サポートと非定数リスク集合を伴う状況でも、弱い正則性条件のもとで線形関数 c⊤β の推定量の漸近正規性を理論的に保証することにある。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to construct confidence intervals for the regression coefficients in high-dimensional Cox proportional hazards regression models where the number of covariates may be larger than the sample size. Our debiased estimator construction is similar to those in Zhang and Zhang (2014) and van de Geer et al. (2014), but the time-dependent covariates and censored risk sets introduce considerable additional challenges. Our theoretical results, which provide conditions under which our confidence intervals are asymptotically valid, are supported by extensive numerical experiments.

研究の動機と目的

• 共変量の数 p が標本サイズ n よりも大きい高次元コックス比例ハザードモデルにおける回帰係数の有効な信頼区間を構築すること。
• 高次元生存解析における時間依存共変量と打ち切りリスク集合の存在が、標準的推論を複雑にするという課題に対処すること。
• 任意の固定線形関数 c⊤β に対して漸近正規性を達成するデバイアス推定量の開発。これにより、超高次元設定（p = o(exp(n^a)) for all a > 0）においても有効な推論が可能になる。
• 弱収束仮定や無限時間サポートといった理論的障壁を、新規の切り捨て補正と修正精度行列推定を用いて克服すること。
• 特にバイオメディスンやゲノム分野において関連性の高い、実用的かつ理論的根拠を持つ高次元生存データの推論手法の提供。

提案手法

• 高次元回帰係数の初期スパース推定量 β̂ として、lasso正則化付き部分尤度推定量を用いる。
• 対数部分尤度の負のヘッセ行列の逆行列を近似するために、修正CLIME手法によるスパース精度行列推定量 bΘ を構築する。
• 1ステップデバイアス補正を適用：β̃ = β̂ + bΘ × ˙ℓ(β̂)、ここで ˙ℓ(β̂) は β̂ におけるスコア関数。初期推定量のバイアスを低減する。
• 無限時間サポートと非定数リスク集合を扱うために、新しい切り捨て補正を用いる。これにより、共分散過程の弱収束仮定に対する強い仮定を回避できる。
• コックスモデルにおけるチルティング重みによって生じる平均シフト付き設計行列に対応する修正CLIME推定量を用い、必要な独立構造を保つ。
• 集中不等式とマルティングルの議論を用いて、empiricalプロセスの平均からの逸脱を制御し、c⊤β̃ の漸近正規性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p ≫ n の高次元コックスモデルにおいて、回帰係数の有効な信頼区間を構築できるか？
• RQ2 時間依存的で打ち切られた生存データの性質に適合するデバイアス化アプローチは、非定数リスク集合を伴う場合にどのように適応可能か？
• RQ3 無限時間サポートと平均シフト付き共変量が存在する状況でも、デバイアス推定量の漸近正規性を保証する条件は何か？
• RQ4 古典的なマルティングル中心極限定理に内在する強い弱収束仮定を回避できる理論枠組みは構築できるか？
• RQ5 この手法の性能は、標本サイズとスパarsityにどのように依存するか。特に、信号変数とノイズ変数の両者において。

主な発見

• 提案されたデバイアス推定量 β̃ は、任意の固定線形関数 c⊤β に対して漸近正規性を示し、修正CLIME精度行列を用いて分散・共分散構造を推定可能である。
• p = o(exp(n^a)) for all a > 0 を満たすような弱い条件下でも、信頼区間の漸近的有効性を達成する。これは超高次元領域をカバーする。
• 数値実験では、比較的小さな標本サイズでもノイズ変数に対して有効なp値と信頼区間が得られるが、信号変数の良好なカバレッジを得るにはより大きな標本が必要である。
• 理論的分析により、適切なスパarsityおよび固有値条件のもとで、デバイアス推定量の推定誤差が Op(√(log(np)/n)) であることが示された。
• 切り捨て補正は、無限時間サポートと非定数リスク集合を効果的に処理でき、理論が有界時間ホライズン設定を超えて適用可能であることを可能にした。
• 修正CLIME推定量は、設計行列が平均シフトを受ける状況でも精度行列の推定を一貫して行うことができ、コックスモデルにおける主要な課題を克服した。