[論文レビュー] Confidence Intervals for Selected Parameters

Yoav Benjamini, Yotam Hechtlinger+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2019

Statistical Methods in Clinical Trials参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、選択ルールを考慮することで、m 個のシフトパラメータのうち k 個の最大のパラメータに対する同時信頼区間を提案する。これにより、標準的手法に比べて被覆確率の正確性が向上する。この手法は『選択されたものにおける同時性』（SoS）誤り率を制御し、k ≪ m の場合、Šidák や Bonferroni補正より短い信頼区間を提供する。一方、k ≈ m の場合、これらの手法に近づく。

ABSTRACT

Practical or scientific considerations often lead to selecting a subset of parameters as ``important.'' Inferences about those parameters often are based on the same data used to select them in the first place. That can make the reported uncertainties deceptively optimistic: confidence intervals that ignore selection generally have less than their nominal coverage probability. Controlling the probability that one or more intervals for selected parameters do not cover---the ``simultaneous over the selected'' (SoS) error rate---is crucial in many scientific problems. Intervals that control the SoS error rate can be constructed in ways that take advantage of knowledge of the selection rule. We construct SoS-controlling confidence intervals for parameters deemed the most ``important'' $k$ of $m$ shift parameters because they are estimated (by independent estimators) to be the largest. The new intervals improve substantially over Šidák intervals when $k$ is small compared to $m$, and approach the standard Bonferroni-corrected intervals when $k \approx m$. Standard, unadjusted confidence intervals for location parameters have the correct coverage probability for $k=1$, $m=2$ if, when the true parameters are zero, the estimators are exchangeable and symmetric.

研究の動機と目的

• パラメータがデータ駆動の基準に基づいて選択される場合、標準的信頼区間の被覆確率が歪む問題に対処すること。
• 選択されたパラメータに対して有効な推論を保証するため、『選択されたものにおける同時性』（SoS）誤り率を制御する信頼区間を開発すること。
• Šidák や Bonferroni といった既存手法を、例えば k 個の最大推定値を選択するといった選択ルールの知識を組み込むことで改善すること。
• 選択的推論手法が、すべての可能なサブセットに対する同時推論よりも、特に関心のあるパラメータが少数である場合に、より強力で精密であることを示すこと。

提案手法

• k 個の推定シフトパラメータのうち最大のものを選択する選択ルールを条件として、SoS 誤り率を制御する信頼区間を構築する。
• 異なるパラメータ設定における被覆領域の確率を比較する変換に基づくアプローチを用い、選択下での被覆確率が確実に増加することを証明する。
• 幾何学的および確率的議論（例えば、三角形の合同、領域の反転・回転）を用いて、選択モデル下での被覆確率が、帰無仮説または単純な設定下でのそれ以上であることを示す。
• 自己回帰（AR）、時間減衰（TD）、ブロック（Block）などのさまざまな共分散構造を想定した、混合正規分布および t 分布変数を用いたシミュレーションを実施し、従属性下でのロバストネスと被覆性を検証する。
• 提案手法の信頼区間を標準的 Šidák および Bonferroni 信頼区間と比較し、k が m に比べて小さい場合に、長さと被覆性の両方が向上することを示す。
• 対称性と不変性の議論を用いて、選択された区間の被覆確率が真のパラメータ値とともに確率的に増加することを示し、有効な推論を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 推定値に基づいてパラメータが選択される（例：k 個の最大）場合、どのようにして有効な被覆性を維持する信頼区間を構築できるか。
• RQ2 選択ルールの知識を組み込むことで、Šidák や Bonferroni といった標準的手法よりも短く、より強力な信頼区間を得られるか。
• RQ3 パラメータ間の従属性（例：相関のある分布や重尾分布）が SoS 信頼区間の被覆性に与える影響は何か。
• RQ4 選択パラメータ数 k が全数 m より小さい場合と大きい場合、この手法はそれぞれどのように性能を示すか。
• RQ5 自己回帰、時間減衰、ブロック共分散構造などのさまざまな従属構造下でも、SoS 誤り率制御はロバストか。

主な発見

• 提案された SoS 制御信頼区間は、選択ルールに従っても、標準的手法が楽観的になりがちな状況でも正確な被覆確率を達成する。
• k ≪ m の場合、Šidák 信頼区間よりも著しく短くなり、精度と検出力が向上する。
• k が m に近づくと、信頼区間は標準的 Bonferroni 補正のものに収束し、確立された手法と一貫性を保つ。
• シミュレーションにより、AR、TD、Block などの多様な従属構造下でも、名目水準（例：α=0.05 の場合約95％）に近く、わずかなずれを示す被覆性が維持されることを確認した。
• 従属性下でも保守的であることが確認され、被覆確率はしばしば名目水準を上回るが、これはロバストネスを示唆するとともに、特定の状況ではさらなる改善の余地があることを示唆する。
• シミュレーションにおける選択分布（例：η）は、共分散構造よりも被覆性に強い影響を及ぼすことが判明し、真のパラメータ差の大きさが重要な要因であることが示された。