[論文レビュー] Confidence regions for excursion sets in asymptotically Gaussian random fields, with an application to climate

Max Sommerfeld, Stephen R. Sain+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2015

Soil Geostatistics and Mapping参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、漸近的にガウス過程に従う確率的場において、閾値を超える空間関数のための、新たな信頼領域の構築法を提案する。具体的には、ネストされた上界と下界の領域（上・下の超過集合）を用いる。マルチプライヤーブートストラップ手法を用いることで、ガウス性、定常性、滑らかさの仮定を必要とせず、有効な被覆確率を達成する。この手法を用いて、21世紀半ばまでに北アメリカの地域で2°Cを超える温暖化が発生するリスクが著しい領域を同定する。

ABSTRACT

The goal of this paper is to give confidence regions for the excursion set of a spatial function above a given threshold from repeated noisy observations on a fine grid of fixed locations. Given an asymptotically Gaussian estimator of the target function, a pair of data-dependent nested excursion sets are constructed that are sub- and super-sets of the true excursion set, respectively, with a desired confidence. Asymptotic coverage probabilities are determined via a multiplier bootstrap method, not requiring Gaussianity of the original data nor stationarity or smoothness of the limiting Gaussian field. The method is used to determine regions in North America where the mean summer and winter temperatures are expected to increase by mid 21st century by more than 2 degrees Celsius.

研究の動機と目的

• 固定グリッド上の繰り返しノイズ付き観測値しか入手できない状況において、空間関数の超過集合の有効な信頼領域を提供すること。
• 自然変動のため、温度上昇が臨界閾値（例：2°C）を超える空間的領域における不確実性を定量化する課題に対処すること。
• 元データや極限分布の場における定常性、滑らかさ、ガウス性を仮定しない手法を開発すること。
• NARCCAPプロジェクトの実際の気候データにこの手法を適用し、21世紀半ばにおける極端な気温変化の地域的リスクを評価すること。
• データ駆動型のネストされた集合を用いて、真の超過集合が漸近的にその被覆確率を満たすように、計算効率の良いブートストラップ手順を用いること。

提案手法

• 被覆確率超過集合（CoPE）集合を提案：$\hat{A}_c^+$ と $\hat{A}_c^-$ の2つのネストされた超過集合で、$\hat{A}_c^+ \subset A_c \subset \hat{A}_c^-$ を満たし、漸近的被覆確率が $1 - \alpha$ となる。
• 真の超過集合の漸近的被覆確率を推定するためにマルチプライヤーブートストラップ手順を用い、極限ガウス過程の未知の相関関数の推定を回避する。
• 標的関数 $\mu$ の漸近的にガウス分布に従う推定量 $\hat{\mu}_n$ に対して中心極限定理を適用し、収束速度 $\tau_n = 2n^{-1/2}$ を得る。
• 標的関数を2つの期間（1971–1999 対 2041–2069）における平均夏季または冬季気温の差と定義し、閾値 $c = 2^\circ C$ を設定する。
• 各空間的位置 $\mathbf{s}$ における平均差分場の推定に一般線形モデルフレームワークを用い、2つの期間を分離するように設計行列を構成する。
• ブートストラップのキャリブレーションに、境界 $\partial A_c$ のプラグイン推定値を用いることで、真の境界が未知であっても有効な推論が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 元のデータがガウス分布や定常性を満たさない場合、空間的超過集合のための信頼領域をどのように構築できるか？
• RQ2 真の超過集合を含むデータ駆動型のネストされた超過集合のペアの漸近的被覆確率は何か？
• RQ3 極限ガウス過程の相関関数の明示的推定を必要とせず、マルチプライヤーブートストラップ手順を用いて被覆確率を推定できるか？
• RQ4 21世紀半ばまでに、北アメリカのどの地域が夏季および冬季平均気温で2°Cを超える温暖化の統計的に有意なリスクを負っているか？
• RQ5 数千のグリッドポイントを含む高次元空間データに適用した場合、提案手法の計算効率はどの程度か？

主な発見

• 提案されたCoPE集合は、真の超過集合に対して漸近的被覆確率90%を達成する。繰り返しサンプリングにおいて、真の関心領域が上界と下界の間にある確率がこの確率に一致する。
• 平均夏季気温に関しては、ロッキー山脈およびメキシコのシエラ・マドレ・オックシデントゥアル地域が2°Cを超える温暖化のリスクが著しい地域と特定されたが、フロリダ、メキシコ北部の一部、カナダ北西部はリスクがないとされた。
• 平均冬季気温に関しては、ハドソン湾周辺およびカナダ・シェルド地域がリスクが著しい一方、メキシコ湾北部の小さな地域はリスクがないとされた。
• ポイントワイズ回帰とブートストラップ計算を含む全解析は、標準のラップトップで5秒未満で完了し、高い計算効率を示した。
• 本手法は弱い仮定のもとで有効である。元データのガウス性、定常性、極限分布の滑らかさの仮定は不要である。
• 近年の理論的結果（Chernozhukovら、2013年）が支持するように、マルチプライヤーブートストラップ手順は高次元データに対しても有効であることが示された。