[論文レビュー] Configuration Spaces of Linkages in R^n

Henry C. King|ArXiv.org|Nov 23, 1998

Advanced Graph Theory Research参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、R^n 内の任意のコンパクトな代数的集合が、有限個のコピーへの解析的同型を伴って機械的リンクアージェーションの配置空間として実現可能であることを示している。可動部材を許容する場合、多項式等式および不等式によって定義される任意のコンパクト集合（半代数的集合）もリンクアージェーションによって実現可能である。さらに、このようなリンクアージェーションによって計算可能な関数のクラスについても同定している。

ABSTRACT

This paper studies the configuration space of all possible positions of a linkage in R^n. For example, it shows that for every compact algebraic set, there is a linkage whose configuration space is analytically isomorphic to a finite number of copies of the algebraic set. If flexible edges are allowed, any compact set given by polynomial equalities and inequalities is the configuration space of a linkage. This paper also characterizes functions which can be computed by linkages.

研究の動機と目的

• R^n 内の機械的リンクアージェーションの配置空間を特徴づけること。
• R^n のどのコンパクト部分集合がリンクアージェーションの配置空間として実現可能かを特定すること。
• R^n 内のリンクアージェーションによって計算可能な関数のクラスを調査すること。
• 高次元空間における代数幾何学と機械的リンクアージェーションの関係を確立すること。

提案手法

• 与えられたコンパクトな代数的集合の配置空間と解析的に同型となるリンクアージェーションを構築すること。
• 多項式制約を用いてリンクアージェーション内の剛体部および可動部の条件をモデル化すること。
• 幾何トポロジーおよび代数幾何学の技術を用いて配置空間を分析すること。
• 複雑な配置空間をモデル化するために代数的集合の有限和を用いること。
• 可動部材を導入することで、多項式不等式によって定義される半代数的集合の実現可能性を拡張すること。
• リンクアージェーションの計算能力を、それらが計算可能な関数を分析することで検討すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R^n のどのコンパクト部分集合がリンクアージェーションの配置空間として生じるか？
• RQ2 任意のコンパクトな代数的集合は、R^n 内のリンクアージェーションの配置空間として実現可能か？
• RQ3 R^n 内の機械的リンクアージェーションによって計算可能な関数のクラスは何か？
• RQ4 可動部材の導入が、半代数的集合を配置空間として実現可能にするのにはどのような影響を与えるか？
• RQ5 配置空間の位相とその背後にあるリンクアージェーションの構造との関係は何か？

主な発見

• R^n 内の任意のコンパクトな代数的集合に対して、その配置空間が有限個のコピーへの解析的同型となるリンクアージェーションが存在する。
• 可動部材を許容する場合、多項式等式および不等式によって定義される任意のコンパクト集合（半代数的集合）が、リンクアージェーションの配置空間として実現可能である。
• R^n 内のリンクアージェーションの配置空間は、常に半代数的集合である。
• 本稿では、リンクアージェーションによって計算可能な関数のクラスを、リンクアージェーションの運動制約によって実現可能な関数として同定している。
• 構成法により、高次元ユークリッド空間における代数幾何学と機械的計算の深い関係が確立されている。
• 結果として、R^n 内のリンクアージェーションは、機械的手段によって複雑な代数的および半代数的構造をシミュレート可能であることが示された。