[論文レビュー] Configuration spaces over singular spaces -- I. Dirichlet-Form and Metric Measure Geometry

Lorenzo Dello Schiavo, Kohei SUZUKI|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2021

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 60被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、特異的基底空間上の配置空間に、滑らかさや参照測度の擬不変性を仮定せずに、強局所的ディリクレ形式を構成し、それを$L^2$-輸送距離のチーバーエネルギーと同定することで、標準的な微分構造を確立する。この形式の内在的距離が$L^2$-輸送距離と一致することを証明し、部分リーマン多様体、$\sigma$-有限空間、およびさまざまな点過程を含む広範なクラスの基底空間と不変測度に対して、解析的・幾何的構造を統一的に扱う。

ABSTRACT

We construct a canonical differential structure on the configuration space $Υ$ over a singular base space $X$ and with a general invariant measure $μ$ on $Υ$. We present an analytic structure on $Υ$, constructing a strongly local Dirichlet form $\mathcal E$ on $L^2(Υ, μ)$ for $μ$ in a large class of probability measures. We then investigate the geometric structure of the extended metric measure space $Υ$ endowed with the $L^2$-transportation extended distance $\mathsf{d}_Υ$ and with the measure $μ$. By establishing Rademacher- and Sobolev-to-Lipschitz-type properties for $\mathcal E$, we finally provide a complete identification of the analytic and the geometric structure -- the canonical differential structure induced on $Υ$ by $X$ and $μ$ -- showing that $\mathcal E$ coincides with the Cheeger energy of $(Υ,\mathsf{d}_Υ,μ)$ and that the intrinsic distance of $\mathcal E$ coincides with $\mathsf{d}_Υ$. The class of base spaces to which our results apply includes sub-Riemannian manifolds, RCD spaces, and path/loop spaces over Riemannian manifolds; as for $μ$ our results include quasi-Gibbs measures, in particular: Poisson measures, canonical Gibbs measures, as well as some determinantal/permanental point processes (sine$_β$, Airy$_β$, Bessel$_{α,β}$, Ginibre). A number of applications to interacting particle systems and infinite-dimensional metric measure geometry are also discussed. In particular, we prove the universality of the $L^2$-transportation distance $\mathsf{d}_Υ$ for the Varadhan short-time asymptotics for diffusions on $Υ$, regardless of the choice of $μ$. Many of our results are new even in the case of configuration spaces over Euclidean spaces.

研究の動機と目的

• 特異的基底空間上の配置空間に、滑らかさや参照測度の擬不変性を仮定しない標準的な微分構造を構築すること。
• 広範な確率測度$\mu$のクラスに対して、$L^2({\boldsymbol{\Upsilon}}, \mu)$上に強局所的ディリクレ形式を構成すること。
• ディリクレ形式の内在的距離を$L^2$-輸送距離$\mathsf{d}_{\boldsymbol{\Upsilon}}$と同一視すること。
• ディリクレ形式の擬正則性を証明し、マルコフ拡散過程の存在と一意性を保証すること。
• $\mathsf{d}_{\boldsymbol{\Upsilon}}$が、$\boldsymbol{\Upsilon}$上での拡散過程のヴァラダハン型短時間漸近挙動を普遍的に支配することを確立すること。

提案手法

• テンソル化と条件付き測度を用いて、$L^2({\boldsymbol{\Upsilon}}, \mu)$上にディリクレ形式$\mathcal{E}^{{\boldsymbol{\Upsilon}},{\mu}}$を構成し、閉包性と強局所性を保証する。
• $\mathsf{d}_{\boldsymbol{\Upsilon}}$を、基底空間の距離と測度によって誘導される配置空間$\boldsymbol{\Upsilon}$上の幾何的構造として採用する。
• ラデマッハ型およびソボレフからリプシッツ型への性質を適用し、解析的構造と幾何的構造を結びつける。
• 測度の分解と条件付きディリクレ形式を用い、エネルギー密度$\Gamma^{{\boldsymbol{\Upsilon}},{\mu}}$を勾配の点毎ノルムとして同定する。
• $\mathsf{RCD}$空間の理論と局所的ポンカラレ不等式を用いて、特異的基底空間への結果の拡張を実現する。
• $\mathcal{E}^{{\boldsymbol{\Upsilon}},{\mu}}$が、測度空間$({\boldsymbol{\Upsilon}}, \mathsf{d}_{\boldsymbol{\Upsilon}}, \mu)$のチーバーエネルギーと一致し、かつ$\mathcal{E}$の内在的距離が$\mathsf{d}_{\boldsymbol{\Upsilon}}$に等しいことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかさや参照測度の擬不変性を仮定せずに、特異的基底空間上の配置空間に標準的ディリクレ形式を構成できるか？
• RQ2 $L^2$-輸送距離$\mathsf{d}_{\boldsymbol{\Upsilon}}$は、ディリクレ形式が誘導する内在的距離と一致するか？
• RQ3 ディリクレ形式$\mathcal{E}^{{\boldsymbol{\Upsilon}},{\mu}}$は擬正則的であり、一意なマルコフ過程の存在を保証するか？
• RQ4 $\mathsf{d}_{\boldsymbol{\Upsilon}}$は、広範な不変測度のクラスに対して、$\boldsymbol{\Upsilon}$上での拡散過程の短時間漸近挙動を普遍的に支配するか？
• RQ5 $({\boldsymbol{\Upsilon}}, \mathsf{d}_{\boldsymbol{\Upsilon}}, \mu)$のチーバーエネルギーをディリクレ形式$\mathcal{E}^{{\boldsymbol{\Upsilon}},{\mu}}$と同一視できるか？

主な発見

• 最小限の仮定のもとで、ディリクレ形式$\mathcal{E}^{{\boldsymbol{\Upsilon}},{\mu}}$は強局所的かつ擬正則的であり、$\boldsymbol{\Upsilon}$上に一意なマルコフ拡散過程の存在を保証する。
• ディリクレ形式$\mathcal{E}^{{\boldsymbol{\Upsilon}},{\mu}}$の内在的距離は、$L^2$-輸送距離$\mathsf{d}_{\boldsymbol{\Upsilon}}$と一致する。
• ディリクレ形式$\mathcal{E}^{{\boldsymbol{\Upsilon}},{\mu}}$は、測度空間$({\boldsymbol{\Upsilon}}, \mathsf{d}_{\boldsymbol{\Upsilon}}, \mu)$のチーバーエネルギーと同一視される。
• ラデマッハの性質が成り立つ：$\mathcal{E}^{{\boldsymbol{\Upsilon}},{\mu}}$-ソボレフ関数は$\mathsf{d}_{\boldsymbol{\Upsilon}}$-リプシッツ関数 almost everywhere である。
• $L^2$-輸送距離$\mathsf{d}_{\boldsymbol{\Upsilon}}$は、広範な不変測度$\mu$のクラスに対して、$\boldsymbol{\Upsilon}$上での拡散過程のヴァラダハン短時間漸近挙動を普遍的に支配する。
• 結果は、部分リーマン多様体、$\mathsf{RCD}^*(K,N)$、$\mathsf{RCD}(K,\infty)$、経路・ループ空間を含む広範なクラスの基底空間に適用可能であり、ポアソン、ギブス、および行列式過程などの測度に対しても成立する。