[論文レビュー] Confinement for all values of the coupling in four-dimensional SU(2) gauge theory

E. T. Tomboulis|ArXiv.org|Jul 15, 2007

Physics of Superconductivity and Magnetism参考文献 3被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、ポテンシャル移動型の近似ランダム・グレイジング（RG）縮約変換を用いて、4次元SU(2)ゲージ理論がすべての結合定数 $0 < g < \infty$ に対して規禁的であることを、第一原理的導出により提示する。分割関数の計算可能な上界と下界を構築し、それらの間を補間することで、段階的に粗い格子上の分割関数の正確な表現が得られ、その結果、すべての結合定数においてストリング張力が面積則に従う（ウィルソンループの面積則）規禁的挙動を示すボルテックス自由エネルギーが成立することが証明される。$a \to 0$ のとき $g(a) \to 0$ となる。

ABSTRACT

A derivation is given from first principles of the fact that the SU(2) gauge theory is in a confining phase for all values of the coupling $0 &lt; g &lt; \infty$ defined at lattice spacing (UV regulator) $a$, and space-time dimension $d \leq 4$. The strategy is to employ approximate RG decimation transformations of the potential moving type which give both upper and lower bounds on the partition function at each successive decimation step. By interpolation between these bounds an exact representation of the partition function is obtained on progressively coarser lattices. In the same manner, one obtains a representation of the partition function in the presence of external center flux. Under successive decimations the flow of the effective action in these representations is constrained by that in the upper and lower bounds which are easily explicitly computable. Confining behavior for the vortex free energy order parameter (ratio of partition functions with and without external flux), hence `area law' for the Wilson loop, is the result for any initial coupling. Keeping the string tension fixed determines the dependence $g(a)$, which is such that $g(a) o 0$ for $a o 0$.

研究の動機と目的

• 4次元において結合定数 $0 < g < \infty$ のすべての値に対してSU(2)ゲージ理論が規禁的相に留まることを厳密に確立すること。
• 摂動的でない第一原理的手法を用いて、弱結合から強結合への多スケール的遷移を克服すること。
• 計算可能な境界を持つ近似RG縮約に基づく、実用的かつ計算可能なフレームワークを構築し、分割関数と外部中心フラックスへの応答を評価すること。
• ボルテックス自由エネルギーというオーダー変数が、初期結合定数に依存せず、普遍的に規禁的挙動を示すことの証明。

提案手法

• 格子間隔を $a$ から $ba$ に縮約するポテンシャル移動型の近似RG縮約変換を用い、明示的な境界計算が可能となるように格子を粗くする。
• ゲージ場配置に対して代数的に取り扱いやすい操作を用いて、各縮約段階における分割関数の上界と下界を導出する。
• パラメータ化された有効作用の族を用いて上界と下界の間を補間し、粗い格子上での元の分割関数の正確な積分表現を獲得する。
• 上界と下界から得られた分割関数から導かれる有効作用を、各スケールで境界内に制約することで、正確な理論と一貫性を保つ。
• 外部中心フラックスの存在下での分割関数を解析し、ウィルソンループ挙動を支配するボルテックス自由エネルギーというオーダー変数を定義する。
• 分割関数の境界の単調性と連続性を用いて、各縮約レベルで正確な表現を保証する一意な補間パラメータの存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元SU(2)ゲージ理論における規禁が、$0 < g < \infty$ のすべての結合定数に対して第一原理的手法により厳密に導出可能か？
• RQ2 ボルテックス自由エネルギーというオーダー変数は、弱結合極限を含め、すべての結合定数において規禁的挙動（面積則）を示すか？
• RQ3 計算可能な境界を持つ近似RG縮約手順は、正確なブロッキングを必要とせず、規禁の本質的非摂動的性質を捉えることができるか？
• RQ4 粗い格子上の有効作用は、計算可能な上界と下界の間に制約され、正しい物理的挙動を保っているか？
• RQ5 格子間隔 $a \to 0$ の連続的極限においてストリング張力が有限かつ非ゼロのままであるか？これは $g(a) \to 0$ を意味し、漸近的自由性と整合的であるか？

主な発見

• ボルテックス自由エネルギーというオーダー変数は、$0 < \beta < \infty$（すなわち $0 < g < \infty$）のすべての結合定数において規禁的挙動を示し、SU(2)ゲージ理論が全結合定数範囲で規禁的であることを証明する。
• 計算可能な上界と下界の間の補間を用いて、分割関数の正確な積分表現が段階的に粗い格子上で得られ、その結果、正確な理論的表現が保証される。
• 各縮約段階における有効作用は、上界と下界から導かれる作用の間で制約され、RGフロー全体にわたり物理的整合性が保たれる。
• 連続的極限 $a \to 0$ においてストリング張力が有限かつ非ゼロのままであることが示され、これは $g(a) \to 0$ であることを意味し、漸近的自由性と整合的である。
• 本手法はSU(3)などの他のゲージ群に対しても一般化可能であり、同じ近似縮約スキーム下で同一の挙動を示す。
• 正確な表現条件を満たす一意な補間パラメータ $\alpha_{\Lambda}^{*}$ が存在し、分割関数の境界の単調性と連続性を用いて証明される。