[論文レビュー] Confining non-analytic exponential potential $V(x)= g^2\exp\,(2|x|)$ and its exact Bessel-function solvability

Ryu Sasaki|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2016

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、束縛非解析的指数ポテンシャル $V(x) = g^2 \exp(2|x|)$ を持つ一次元シュレーディンガー方程式の厳密可解性を提示する。その束縛状態は、純虚数階の第二種変形ベッセル関数 $K_{i\nu}(\rho)$ で記述され、エネルギー固有値 $E_n = \nu_n^2$ は $K_{i\nu}(g)$ および $K'_{i\nu}(g)$ の純虚数零点によって決定される。これにより、ベッセル関数の零点に基づく新しいクラスの厳密可解量子系が確立される。

ABSTRACT

In a previous paper we have shown that Schrödinger equation with the non-analytic attractive exponential potential $V(x)= -g^2\exp (-|x|)$ is exactly solvable. It has finitely many discrete eigenstates described by the Bessel function of the first kind $J_ν(z)$ and the eigenvalues are specified by the positive zeros of $J_ν(g)$ and $J'_ν(g)$ as a function of the order $ν$ with fixed $g>0$. Now we show the corresponding results for the {\em confining\/} non-analytic exponential potential $V(x)= g^2\exp (2|x|)$. This has infinitely many discrete eigenstates described by the modified Bessel function of the second kind $K_{iν}(z)$. The eigenvalues are specified by the {\em pure imaginary zeros\/} of $K_{iν}(g)$ and $K'_{iν}(g)$ as a function of the order with fixed $g>0$.

研究の動機と目的

• 一次元量子力学における束縛非解析的指数ポテンシャル $V(x) = g^2 \exp(2|x|)$ の厳密可解性を確立すること。
• 第二種変形ベッセル関数を用いて、純虚数階 $i\nu$ の完全な離散スペクトル（束縛状態）を導出すること。
• エネルギー固有値 $E_n = \nu_n^2$ が、固定された $g>0$ に対して $\nu$ の関数としての $K_{i\nu}(g)$ および $K'_{i\nu}(g)$ の零点によって決定されることを特定すること。
• Wronskian恒等式およびワトソンのベッセル関数に関する論文に由来する不定積分公式を用いて、純虚数零点 $K_{i\nu}(g)$ および $K'_{i\nu}(g)$ の正規直交関係と漸近的分布則を導出すること。

提案手法

• 補助変数 $\rho(x) = g e^{|x|}$ を用いてシュレーディンガー方程式をベッセル型微分方程式に変換し、問題を径方向形式に写像する。
• 得られた方程式を修正ベッセル関数 $I_{i\nu}(\rho)$ および $K_{i\nu}(\rho)$ を用いて解き、無限遠における減衰性を満たすため $K_{i\nu}(\rho)$ を選択する。
• $x=0$ におけるパリティ不変境界条件を適用し、偶数パリティおよび奇数パリティの固有関数を選別し、$K_{i\nu}(g)$ および $K'_{i\nu}(g)$ を含む一致条件を導出する。
• 固有関数が一致点 $\rho = g$ で消えることを要請することで、固有値 $E_n = \nu_n^2$ を決定する。すなわち $K_{i\nu}(g) = 0$ または $K'_{i\nu}(g) = 0$ である。
• ワトソンのベッセル関数に関する論文に由来するWronskian恒等式および不定積分公式を用いて、固有関数の直交関係を導出する。
• WKB近似を用いて、$n \gg 1$ の場合の純虚数零点 $\nu_n$ の漸近的分布を予想し、ボーア＝ゾンマーフェルト型の量子化条件に到達する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 束縛指数ポテンシャル $V(x) = g^2 \exp(2|x|)$ は、一次元量子力学においてどのように厳密に解けるか？
• RQ2 純虚数階 $i\nu$ の第二種変形ベッセル関数 $K_{i\nu}$ は、このポテンシャルの束縛状態を記述する上で果たす役割は何か？
• RQ3 エネルギー固有値 $E_n = \nu_n^2$ は、固定された $g>0$ に対して $\nu$ の関数としての $K_{i\nu}(g)$ および $K'_{i\nu}(g)$ の零点によってどのように決定されるか？
• RQ4 $K_{i\nu}(\rho)$ から構成された固有関数が満たす直交関係は何か？
• RQ5 $n \gg 1$ の場合に、$K_{i\nu}(g)$ および $K'_{i\nu}(g)$ の純虚数零点 $\nu_n$ の漸近的分布は何か？

主な発見

• シュレーディンガー方程式に $V(x) = g^2 \exp(2|x|)$ を適用した場合、無限に多くの離散的束縛状態が存在し、エネルギー固有値 $E_n = \nu_n^2$ は、固定された $g>0$ に対して $\nu$ の関数としての $K_{i\nu}(g)$ および $K'_{i\nu}(g)$ の零点によって決定される。
• 固有関数は $\rho(x) = g e^{|x|}$ を用いて第二種変形ベッセル関数 $K_{i\nu}(\rho)$ で表され、必要な正規化性およびパリティ条件を満たす。
• $K_{i\nu}(g)$ および $K'_{i\nu}(g)$ の零点 $\nu_n$ は交互に配置されており、単純な零点である。$0 < \lambda_0 < \mu_0 < \lambda_1 < \mu_1 < \cdots$ であり、$\lambda_n$ および $\mu_n$ はそれぞれ $K_{i\nu}(g)$ および $K'_{i\nu}(g)$ の零点である。
• 固有関数の直交関係が確立された：$j \neq k$ のとき $\int_x^\infty K_{i\lambda_j}(\rho) K_{i\lambda_k}(\rho) \frac{d\rho}{\rho} = 0$（偶数パリティ）、同様に奇数パリティについて $\mu_n$ を用いても同様。
• $n$ 番目の純虚数零点の漸近的分布についての予想が提示された：$n \gg 1$ の場合、$\nu_n \,{\rm arccosh}(\nu_n / g) - \sqrt{\nu_n^2 - g^2} = \frac{(n + \frac{1}{2})\pi}{2}$ が成り立ち、WKB近似と整合的である。
• $L$ 階の関連ハミルトニアン系の固有関数は、$K_{i\nu_j}(\rho)$ のWronskianの積を含むWronskianに基づく直交関係を満たし、スペクトルの完全性が確認された。