[論文レビュー] Conformable Fractional Bessel Equation and Bessel Functions

Ahmet Gökdoğan, Emrah Ünal+1 more|arXiv (Cornell University)|May 29, 2015

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、新しい分数階微分の定義を用いて、 conformable 分数階ベッセル方程式を導入し、正則な特異点 x=0 の周りにおけるその分数階べき級数解を導出する。分数階ベッセル関数を定義し、古典的解と比較することで、特に収束性と級数解の形において顕著な構造的・挙動的差異が明らかになる。

ABSTRACT

In this work, we study the fractional power series solutions around regular singular point x=0 of conformable fractional Bessel differential equation and fractional Bessel functions. Then, we compare fractional solutions with ordinary solutions. In addition, we present certain property of fractional Bessel functions.

研究の動機と目的

• 最近定義された分数階微分を用いて、conformable 分数階ベッセル微分方程式を調査すること。
• 正則な特異点 x=0 の周りにおける分数階べき級数解を導出すること。
• conformable 微積分枠組み内での分数階ベッセル関数の定義と分析を行うこと。
• 分数階解と古典的ベッセル関数解の性質および構造を比較すること。
• 分数階ベッセル関数に特徴的な重要な解析的性質を特定し、提示すること。

提案手法

• 標準的微分を conformable 分数階微分（α ∈ (0,1]）に置き換えることにより、古典的ベッセル方程式に応用する。
• 標準的微分を conformable 分数階微分に置き換えることにより、conformable 分数階ベッセル方程式を導出する。
• x=0 の周りにおける分数階べき級数解を得るために、Frobenius 法を用いる。
• 未知係数を含む分数階べき級数の形で解を仮定し、再帰関係を解く。
• 正則な特異点における解の挙動を特定するため、指数方程式を分析する。
• 構造的および収束性の観点から、得られた分数階ベッセル関数と古典的ベッセル関数を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 conformable 分数階微分は、古典的ベッセル微分方程式をどのように変更するか？
• RQ2 x=0 の周りにおける conformable 分数階ベッセル方程式の分数階べき級数解は何か？
• RQ3 分数階ベッセル関数は、古典的ベッセル関数と形や挙動においてどのように異なるか？
• RQ4 導出された分数階べき級数解の収束性はいかなるものか？
• RQ5 conformable フレームワーク下で、分数階ベッセル関数に特徴的な内在的性質は何か？

主な発見

• 標準的微分を conformable 分数階微分（α ∈ (0,1]）に置き換えることにより、conformable 分数階ベッセル方程式が導出された。
• Frobenius 法を用いて、正則な特異点 x=0 の周りにおける分数階べき級数解が成功裏に構成された。
• 分数階ベッセル関数は、特に級数係数の形において、古典的ベッセル関数とは構造的に異なる。
• conformable 微分の性質に起因して、分数階級数における係数の再帰関係は、古典的ケースとは顕著に異なる。
• 分数階ベッセル関数に特徴的な重要な解析的性質が特定され、それらが古典的対応物とは明確に区別された。
• 分数階解と古典的解の比較から、両者とも同じ条件下で収束するが、係数のダイナミクスが異なることが明らかになった。