[論文レビュー] Conformable Fractional Semigroups of Operators

Mohammed Al Horani, Roshdi Khalil+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2014

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 2被引用数 38

ひとこと要約

本稿では、古典的微分の性質を満たす新しい分数階微分定義に基づき、適合可能な分数階半群の理論を提唱する。この半群の無限小生成子が t=0 における適合分数階微分に対応することを確立し、α-抽象的コーシー問題の解が u(t) = T(t)u₀ で与えられることを証明する。ここで T(t) は α-半群である。これにより、この新しい微分法を用いた分数階発展方程式に対する古典的解の枠組みが構築される。

ABSTRACT

Let $X$ be a Banach space, and $T:[0,\infty) ightarrow {\mathcal{L}}(X,X),$ the bounded linear operators on $X.$ A family $\{T(t)\}_{t\ge 0}\subseteq {% \mathcal{L}}(X,X)$ is called a one-parameter semigroup if $T(s+t)=T(s)T(t),$ and $T(0)=I,$ the identity operator on $X.$ The infinitesimal generator of the semigroup is the derivative of the semigroup at $t=0.$ The object of this paper is to introduce a (conformable) fractional semigroup of operators whose generator will be the fractional derivative of the semigroup at $t=0.$ The basic properties of such semigroups will be studied.

研究の動機と目的

• 従来の分数階微分に起因する制限を克服する、適合分数階微分に基づく新しい分数階半群のクラスの構築。
• このような半群の無限小生成子を t=0 における適合分数階微分として定義すること。
• 適合半群フレームワークを用いて α-抽象的コーシー問題の解を確立すること。
• 適切な条件下で、解 u(t) = T(t)u₀ が古典的かつ一意的であることを示すこと。
• 適合微分の向上した代数的・解析的性質を活かした、分数階微分方程式を解くための関数解析的枠組みの提供。

提案手法

• T(0) = I かつ T(s+t) = T(s)T(t) を満たす一意パラメータ族 {T(t)}_{t≥0} ⊆ ℒ(X,X) を、T(t) が関数 f(s) ↦ f(s + ¹⁄α t^α) を用いて時間シフト作用素として作用するものとして、分数階 α-半群と定義する。
• 標準的微分法則を満たす微分：T_α(f)(t) = lim_{ε→0} [f(t + εt^{1−α}) − f(t)] / ε を導入する。
• α-半群の生成子 A を t=0 における T(t) の適合分数階微分として定義し、f ∈ D(A) に対して A f(s) = f′(s) を示す。
• 合成法則およびロピタルの定理を用いて半群作用の適合微分を計算し、T^{(α)}(t)f(s) = f′(s + ¹⁄α t^α) を得る。
• 解が u(t) = T(t)u₀ で与えられることを証明する。α-抽象的コーシー問題 u^{(α)}(t) = A u(t), u(0) = u₀ に対して、解の性質 [T(t−s)u(s)]^{(α)} = 0 を用いる。
• 一意性を回復するために α-積分 I_α^0 を適用し、T(t−t)u(t) − T(t)u₀ = 0 ⇒ u(t) = T(t)u₀ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限小生成子が t=0 における適合分数階微分であるような分数階半群を構成できるか？
• RQ2 適合分数階微分は、抽象的コーシー問題の古典的解形を保つ、明確に定義された半群構造を可能にするか？
• RQ3 T(t) が A を生成する c₀-α-半群であるとき、α-抽象的コーシー問題の解 u(t) = T(t)u₀ は一意的か？
• RQ4 適合微分の合成および微分における振る舞いが、半群構造および解の正則性に与える影響は？
• RQ5 適合微分の向上した代数的性質（例：積の法則、合成法則）は、従来の分数階微分よりも自然かつ一貫性のある半群フレームワークをもたらすか？

主な発見

• α-半群の無限小生成子は A f(s) = f′(s) であり、定義域 D(A) = {f ∈ X : f′ が X で存在する} である。これにより、適合フレームワーク下で生成子が古典的微分を回復することが示される。
• 半群作用の適合微分は T^{(α)}(t)f(s) = f′(s + ¹⁄α t^α) であり、t → 0 のとき f′(s) に収束する。これにより生成子の性質が確認される。
• α-抽象的コーシー問題 u^{(α)}(t) = A u(t), u(0) = u₀ の解は、T(t) が α-半群であるとき、一意的に u(t) = T(t)u₀ で与えられる。
• X = C[0,∞) で上限ノルムを備えた空間において、A f(s) = f′(s) は、f(s) ↦ f(s + ¹⁄α t^α) で定義される α-半群 T(t) を生成する。この半群は強く連続である。
• 関数 u(x,t) = g(x + ¹⁄α t^α) は、初期条件 u(x,0) = g(x) を満たす偏微分方程式 ∂^{α}u/∂t^{α} = ∂u/∂x の一意的解である。ただし g は連続的に微分可能であるものとする。
• 適合微分フレームワークにより、解がすべての古典的微分法則を満たすことが保証され、リーマン＝リウヴィル微分およびカプト微分の主な欠陥が解消される。