[論文レビュー] Conformal blocks and Painlevé functions

Hajime Nagoya|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、1つのランク1の不規則特異点と2つの正則特異点をもつ3点不規則共形ブロックの、ペアの斜交ヤング図形を用いた推測的な組合せ的展開公式を提案する。この公式は、パンレヴェ方程式のτ関数を含み、ホック長の積と分割依存関数からなる係数を持つ。これは、新しい組合せ的構造を用いて、AGT対応の枠組みを不規則共形ブロックへ拡張するものである。

ABSTRACT

This paper is based on my presentation at RIMS workshop on "Theory of Integrable Systems and Its Applications in Various Fields" held in Kyoto on 19--21, August 2015. The aim of the present paper is to give a short account of recent studies on relations between conformal blocks in the two-dimensional conformal field theory and Painlevé functions. In addition, we present a conjecture on a combinatorial expansion formula of the three-point irregular conformal block at an irregular singular point, with two regular singular points and one irregular singular point. Our conjectural expansion formula is written in terms of pairs of skew Young diagrams, while the four-point regular conformal block, by AGT correspondence, is written in terms of pairs of Young diagrams.

研究の動機と目的

• 1点の不規則特異点（ランク1）と2点の正則特異点をもつ3点不規則共形ブロックの組合せ的展開公式を確立すること。
• ヤング図形を用いた正則4点ブロックにおける既知のAGT対応の枠組みを、不規則3点ブロックへ拡張すること。
• パンレヴェ方程式のτ関数の斜交ヤング図形ペアに関する推測的級数展開を提案し、既知のフーリエ型展開を一般化すること。
• 展開における係数の代数的構造を特定し、特定の対称性を持つ非負整数であると推測すること。
• 分割関数とホック長の積を用いた、係数を体系的に計算する手法を提供すること。

提案手法

• 不規則特異点における不規則共形ブロックの級数展開を、入れ子の分割 ν ⊂ λ、η ⊂ μ をもつペアの斜交ヤング図形 (λ, μ) を用いて提案する。
• 補助関数を導入する：Uλ/ν = ∏(i,j)∈λ/ν (2(β−θ)+i−j)，Vμ/η = ∏(i,j)∈μ/η (−2β+i−j)，Sλ,μ = ∏(i,j)∈λ [(β+i−j)²−θt²]/hλ(i,j)² × ∏(i,j)∈μ [(θ−β+i−j)²−θ₀²]/hμ(i,j)²。
• 展開を t^{-2θt²−2β(θ−β)} e^{β/t} ∑λ,μ t^{|λ|+|μ|} ∑ν⊂λ,η⊂μ (−1)^{|ν|} cλ,μ^{ν,η} Uλ/ν Vμ/η Sλ,μ として導出する。
• ネクラーソフ分割関数の退化極限およびヴェルマ加群における不規則ベクトルの積分表現からの既知の結果を、基礎的入力として用いる。
• AGT対応を指針として用い、既知のPVI τ関数のフーリエ展開を不規則共形ブロックへ拡張する。
• 低次の係数計算（t⁻², t⁻³, t⁻⁴）による検証により、推測された係数形および対称性と整合していることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1点のランク1不規則特異点と2点の正則特異点をもつ3点不規則共形ブロックに対して、組合せ的展開公式を構築できるか？
• RQ2 展開における係数は、特に斜交図形およびその対称性に関して、ヤング図形の組合せ論とどのように関係するか？
• RQ3 係数 cλ,μ^{ν,η} がすべての項で非負整数のままであるか、その代数的構造は何か？
• RQ4 斜交ヤング図形ペアを用いた不規則共形ブロックへのAGT対応の一般化は可能か？
• RQ5 この展開の構造は、ネクラーソフ分割関数の退化極限または不規則ベクトルの積分表現から導出可能か？

主な発見

• 3点不規則共形ブロックの推測的展開公式は、係数 cλ,μ^{ν,η} ∈ ℤ≥₀ をもつ、ペアの斜交ヤング図形の和として表現される。
• 係数 cλ,μ^{∅,∅} = 1、cλ,μ^{(1),(1)} = 2|λ||μ|、cλ,μ^{(2),(2)} = qλ qμ であり、qλ はホック長と行・列の和を含む分割依存関数である。
• 係数 cλ,μ^{(2),(1,1)} = 3 qλ qμ′ であり、転置およびインデックス交換に関して対称性を示している。
• 展開は完全な対称性を示す：cλ,μ^{ν,η} = cμ,λ^{η,ν} = cλ′,μ′^{ν′,η′} であり、分割の双対性およびインデックスの交換に関する不変性が確認される。
• t⁻³およびt⁻⁴の係数構造が、推測された公式により完全に再現され、Uλ/ν、Vμ/η、Sλ,μ を含む項が確認され、低次の整合性が裏付けられる。
• この公式は、既知のPVI τ関数のフーリエ型展開を不規則ブロックへ一般化し、ヤング図形の代わりに斜交ヤング図形ペアを用いる。