[論文レビュー] Conformal blocks for Galois covers of algebraic curves

Jiuzu Hong, Shrawan Kumar|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、単純なリー代数に有限群作用をもつ代数曲線のガロア被覆におけるねじれ conformal ブロックの伝播および分解定理を確立する。群がボレル部分代数を安定化するとき、ねじれ conformal ブロックの層は局所自由であり、平坦な射影接続をもつことを証明する。主な結果は、レベル $c$ が $|\Gamma|$ で割り切れるとき、ねじれ conformal ブロックをパラホリック $$\mathscr{G}$$- torsor のモジュライスタック上の一般化されたトゥータ関数の空間と同定することで、パッパス＝ラポポートの予想を裏付ける。

ABSTRACT

We study the spaces of twisted conformal blocks attached to a $Γ$-curve $Σ$ with marked $Γ$-orbits and an action of $Γ$ on a simple Lie algebra $\mathfrak{g}$, where $Γ$ is a finite group. We prove that if $Γ$ stabilizes a Borel subalgebra of $\mathfrak{g}$, then Propagation Theorem and Factorization Theorem hold. We endow a flat projective connection on the sheaf of twisted conformal blocks attached to a smooth family of pointed $Γ$-curves; in particular, it is locally free. We also prove that the sheaf of twisted conformal blocks on the stable compactification of Hurwitz stack is locally free. Let $\mathscr{G}$ be the parahoric Bruhat-Tits group scheme on the quotient curve $Σ/Γ$ obtained via the $Γ$-invariance of Weil restriction associated to $Σ$ and the simply-connected simple algebraic group $G$ with Lie algebra $\mathfrak{g}$. We prove that the space of twisted conformal blocks can be identified with the space of generalized theta functions on the moduli stack of quasi-parabolic $\mathscr{G}$-torsors on $Σ/Γ$ when the level $c$ is divisible by $|Γ|$ (establishing a conjecture due to Pappas-Rapoport).

研究の動機と目的

• 代数曲線のガロア被覆に有限群作用をもつ単純リー代数に対して、ねじれ conformal ブロック理論を構築すること。
• 群がボレル部分代数を安定化するという条件下で、ねじれ conformal ブロックの伝播および分解定理を確立すること。
• ハーツィッジ・スタックの安定コンactification上のねじれ conformal ブロックの層が局所自由であることを証明すること。
• ねじれ conformal ブロックをパラホリック $$\mathscr{G}$$- torsor のモジュライスタック上の線分束の全体切断の空間と同定すること。
• レベル $c$ が $|\Gamma|$ で割り切れるとき、ねじれ conformal ブロックと一般化されたトゥータ関数との同型を示すパッパスとラポポートの予想を確認すること。

提案手法

• 群の安定化部分群における twisted affine Kac-Moody 代数の可解最高重層表現のテンソル積の商としてねじれ conformal ブロックを定義する。
• 均一化定理を用いて、パラホリック $$\mathscr{G}$$- torsor のモジュライスタックを $G($\Sigma\setminus\Gamma\cdot q$)^\Gamma$ とフラグ多様体を含む商スタックとして実現する。
• 均一化空間上の線分束のテンソル積の降下として、モジュライスタック上に線分束 $\mathfrak{L}(c;\vec{\lambda})$ を構成する。
• Borel-Weil 定理およびその Kac-Moody 一般化を適用して、全体切断を群作用に関する不変量と同定する。
• 真空の伝播定理を活用して、ねじれ共真空空間を表現空間の不変量と関連付ける。
• 滑らかな点付き $$\Gamma$$- 曲線の族上のねじれ共真空層の平坦な射影接続を用いて、局所自由性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガロア被覆におけるねじれ conformal ブロックの真空の伝播が、どのような条件下で成立するか？
• RQ2 ねじれ conformal ブロックの層がハーツィッジ・スタックの安定コンactification上で局所自由であるのは、いつか？
• RQ3 ねじれ conformal ブロックの幾何的解釈は、パラホリック torsor のモジュライスタックを用いてどのように記述できるか？
• RQ4 ねじれ conformal ブロックと一般化されたトゥータ関数との同型が成立するのはいつか？また、レベル $c$ に必要な条件は何か？
• RQ5 有限群 $\Gamma$ がリー代数 $\mathfrak{g}$ に作用するとき、ねじれ conformal ブロックの構造およびその分解性にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 群 $\Gamma$ が $\mathfrak{g}$ のボレル部分代数を安定化するとき、ねじれ conformal ブロックの真空の伝播が成立し、自明な重みを持つマークド点を除去できる。
• ボレル部分代数の安定化という条件下で、ねじれ conformal ブロックの分解定理が確立される。
• ハーツィッジ・スタックの安定コンactification上のねじれ conformal ブロックの層は局所自由であり、滑らかな場合の一般化である。
• 滑らかな点付き $\Gamma$- 曲線の族上のねじれ共真空層に平坦な射影接続が存在する。
• $|\Gamma|$ がレベル $c$ を割り切るとき、ねじれ conformal ブロックの空間と、パラホリック $\mathscr{G}$- torsor のモジュライスタック上の線分束の全体切断の空間との間に自然な同型が存在する。
• パッパスとラポポートの予想が確認された：レベル $c$ が $|\Gamma|$ で割り切れるとき、ねじれ conformal ブロックは $\mathscr{G}$- torsor のモジュライスタック上の一般化されたトゥータ関数と一致する。