[論文レビュー] Conformal blocks revisited

Eduard Looijenga|ArXiv.org|Jul 5, 2005

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、形式的べき級数と完全局所体を用いて、Wess-Zumino-Witten (WZW) 接続の座標に依存しない代数的構成を提示し、その平坦性および射影的平坦性を確立する。主な貢献は、接続の整合性、真空の伝播、およびモノドロミー性質の明確な導出であり、有理曲線への退化を用いて、 genus zero における Knizhnik-Zamolodchikov 接続および Verlinde 公式の明示的表現が得られる。

ABSTRACT

We give a simple coordinate free description of the WZW connection and derive its main properties.

研究の動機と目的

• Tsuchiya-Ueno-Yamada の基礎的結果を簡素化・明確化するため、WZW 接続の自己完備的かつ座標に依存しない導出とその平坦性を提供すること。
• 水平方向における Leibniz の法則を用いて、Sugawara 表現を相対的設定に拡張し、WZW 接続の起源を確立すること。
• 完全な代数的枠組みの中で、 conformal block の層の整合性および真空の伝播を導出すること。
• WZW 接続を genus zero における Knizhnik-Zamolodchikov 接続と関連づけ、ノードを持つ有理曲線への退化を用いて Verlinde 公式を導出すること。
• WZW 接続のモノドロミーが有限次の作用を持ち、根の単位根による乗法的作用を示し、中心的荷重とレベルに依存する明示的な指数を特定すること。

提案手法

• 構成は完全局所体 $ R[[t]] $ 及びその分数体 $ R((t)) $ を用い、より代数的かつ座標に依存しない設定で、ローレンス多項式環の代わりに用いる。
• WZW 接続は $ L = R((t)) $ と $ \theta = R((t)) \frac{d}{dt} $ 間の標準的ペアリングにより定義され、上位的双対性を定義するために残留写像 $ \operatorname{Res} $ が用いられる。
• 水平方向における Leibniz の法則を用いて、Sugawara 表現を相対的文脈に拡張し、ファミリーにおける接続の定義を可能にする。
• 接続は普遍包あらゆる代数 $ \overline{U}\mathfrak{l} $ の完備化を用いて構成され、要素は $ t^k $ における増加する次数の無限級数として表現される。
• 外微分作用素 $ T_{\mathfrak{g}}(D) = \tau \frac{d}{d\tau} + \sum_{n \geq 0} \tau^n T_{\mathfrak{g}}(D_n) $ が $ \tau $ に関する形式的べき級数に作用することにより、共変微分が定義される。
• モノドロミーは微分方程式 $ \tau \frac{d}{d\tau} U + \frac{c(\lambda)}{2(\ell + \check{h})} U = 0 $ を解くことで計算され、解は $ u \tau^{-c(\lambda)/2(\ell + \check{h})} $ の形を取る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素解析や局所座標に依存せずに、座標に依存しない代数的手段で WZW 接続をどのように構成できるか？
• RQ2 WZW 接続の平坦性および射影的平坦性の代数的起源は何か？
• RQ3 WZW 接続は genus zero における Knizhnik-Zamolodchikov 接続とどのように関係するか？
• RQ4 WZW 接続のモノドロミーは何か？また、Verlinde 公式とどのように関係するか？
• RQ5 通常の二重点を持つ有理曲線への退化を用いて、 conformal block の次元をどのように計算できるか？

主な発見

• WZW 接続は、形式的べき級数と上位的双対性に基づく座標に依存しない代数的構成により、射影的平坦性が示された。
• WZW 接続のモノドロミーは、各既約和成分 $ \mathbb{H}_\ell(\tilde{V}_{\lambda,\lambda^*})_{\tilde{C}} $ 上で $ \exp\left(\pi i \frac{c(\lambda)}{\ell + \check{h}}\right) $ による乗法的作用として作用し、これは単位根である。
• 接続の平坦性および整合性は、完備化された普遍包あらゆる代数 $ \overline{U}\mathfrak{l} $ の構造および水平方向における Leibniz の法則から導出される。
• genus zero では、WZW 接続は Knizhnik-Zamolodchikov 接続に還元され、平坦な多価関数的セクションを記述する微分方程式 $ \tau \frac{d}{d\tau} U + \frac{c(\lambda)}{2(\ell + \check{h})} U = 0 $ が成立する。
• conformal block の次元に関する Verlinde 公式は、曲線を通常の二重点を持つ有理曲線の和に退化させ、genus zero の場合に還元することで再現される。
• conformal block の次元は退化に対して不変であり、各成分に高々3つのマークド点を持つ滑らかな有理曲線の場合に還元される。