[論文レビュー] Conformal changes of generalized complex structures

Izu Vaisman|ArXiv.org|Oct 19, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、局所的共形変換によって積分可能または一般化されたカーラー構造に変わる一般化されたほぼ複素構造およびほぼヘルミート構造を特徴づけ、その分類にリー形式 $\varpi$ を導入する。ホップ多様体および一般化されたササキアン構造を備えた $M \times S^1$ 上に、グローバルに共形でない例を構成し、$\varpi$ の引き戻しが消える超曲面が、閉じた基本形式を持つ古典的CRF-構造を誘導することを示す。

ABSTRACT

A conformal change of $TM\oplus T^*M$ is a morphism of the form $(X,α)\mapsto(X,e^τα)$ $(X\in TM,α\in T^*M,τ\in C^\infty(M))$. We characterize the generalized almost complex and almost Hermitian structures that are locally conformal to integrable and to generalized Kähler structures, respectively, and give examples of such structures.

研究の動機と目的

• 局所的共形変換の後で積分可能な一般化されたほぼ複素構造を特徴づけること。
• 局所的共形スケーリングの後で一般化カーラー構造に変わる一般化されたほぼヘルミート構造を研究すること。
• ホップ多様体や $M \times S^1$ のようなコンパクト多様体上に、グローバルに共形でない局所的共形一般化複素およびカーラー構造の明示的例を構成すること。
• リー形式が消える超曲面（リー超曲面）における誘導される幾何的構造を分析すること。

提案手法

• 滑らかな関数 $\tau$ を用いた $ (X,\alpha) \mapsto (X, e^{\tau}\alpha) $ による $TM \oplus T^*M$ の共形変換を用いる。
• 局所的共形同値性を積分可能または一般化カーラー構造に特徴づけるために、閉じた1形式 $\varpi$（リー形式）を導入する。
• $T^{big}M$ 上でのコルタン括弧と一般化された複素構造形式主義を用い、ニエンイユステンソルおよび積分可能性条件を適用する。
• 特定の代数的および積分可能性条件を満たす成分 $A, \pi, \sigma$ を持つ自己準同型 $\Phi$ を用いた、一般化された複素構造の古典的表現を採用する。
• リー形式の引き戻しを用いて超曲面上の誘導構造を分析し、先行研究における一般化されたCRF-構造フレームワークを適用する。
• 一般化されたリーマン計量と古典的データ $ (\gamma, \psi) $ の関係を $\sharp_G$ の音楽的同型を用いて関係づけ、共形スケーリング下での変換則を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの一般化されたほぼ複素構造が、局所的共形同値性によって積分可能な一般化複素構造に変わるか？
• RQ2 一般化されたほぼヘルミート構造が局所的共形変換の後で一般化カーラー構造に変わるための条件は何か？
• RQ3 ホップ多様体や $M \times S^1$ のようなコンパクト多様体上に、グローバルに共形でない一般化カーラー構造を構成できるか？
• RQ4 リー形式の引き戻しが消えるとき、超曲面の幾何はどのように変化するか？
• RQ5 局所的共形一般化カーラー多様体上のリー超曲面上に誘導される構造の性質は何か？

主な発見

• ホップ多様体 $\mathcal{H}^{2n}$ および $M \times S^1$（$M$ が一般化ササキアン多様体）上に、グローバルに共形でない一般化局所共形複素構造が存在する。
• 一般化カーラー構造が $\mathbb{R}^{2n} \setminus \{0\}$ 上に存在するとき、リー形式 $\varpi = -2d\ln||x||$ が、ホップ多様体 $\mathcal{H}^{2n}$ 上での局所的共形構造に変わる変換を特徴づける。
• リー超曲面 $N \subset M$ 上では、誘導された構造は古典的CRF-構造であり、$F$ の $\sqrt{-1}$-固有空間がCR-構造を形成する。
• 誘導されたほぼ接触構造の基本形式 $\Xi_\pm$ は、$\varpi(\nu)\Xi_\pm = \pm i(Z)\iota^*(d\psi \pm d^C\omega_\pm)$ を満たし、リー形式が超曲面の幾何と関連づけられる。
• リー超曲面上の誘導された構造は補足的積分可能性条件 $F \circ (L_Z F) \circ F = 0$ を満たし、一般化されたCRF-構造であることが保証される。
• 任意の古典的ケーラー多様体の向き付け可能な超曲面は、閉じた基本形式を持つCRF-構造を誘導するが、リー条件の下ではこの性質が一般化された設定へと拡張される。