[論文レビュー] Conformal de Rham Hodge theory and operators generalising the Q-curvature

A. Rod Gover|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2004

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、ブラソンのQ曲率と臨界定常GJMS作用素を一般化する微分形式上の共形不変微分作用素の族を導入する。アンビエント計量とトランスポート微積分を用いて、de Rham複体を楕円的強制的で共形不変な系に完成させる作用素を構成し、それらが強く不変でないことを証明するとともに、多項式的続拡を用いてQ曲率を回復する。

ABSTRACT

We look at several problems in even dimensional conformal geometry based around the de Rham complex. A leading and motivating problem is to find a conformally invariant replacement for the usual de Rham harmonics. An obviously related problem is to find, for each order of differential form bundle, a ``gauge'' operator which completes the exterior derivative to a system which is both elliptically coercive and conformally invariant. Treating these issues involves constructing a family of new operators which, on the one hand, generalise Branson's celebrated Q-curvature and, on the other hand, compose with the exterior derivative and its formal adjoint to give operators on differential forms which generalise the critical conformal power of the Laplacian of Graham-Jenne-Mason-Sparling. We prove here that, like the critical conformal Laplacians, these conformally invariant operators are not strongly invariant. The construction draws heavily on the ambient metric of Fefferman-Graham and its relationship to the conformal tractor connection and exploring this relationship will be a central theme of the lectures.

研究の動機と目的

• 微分形式上の共形不変微分作用素を構成し、臨界定常ラプラシアンとブラソンのQ曲率を一般化すること。
• 偶数次元の共形幾何学におけるde Rham調和関数の共形不変な置き換えを見つける問題を解決すること。
• 各微分形式バンドルに対して、楕円的強制的かつ共形不変なゲージ作用素系を構築すること。
• 構築された共形不変作用素が強く不変でないことを示すこと、これは重要な構造的性質である。

提案手法

• フェッファーマン＝グレゴリーのアンビエント計量を用いて、トランスポート微積分を介して重み付き形式上に作用する作用素の族を定義する。
• 臨界定常ラプラシアンの一般化である重み付きトランスポートバンドル上の作用素 $\mathbb{K}_\ell$ を構成する。
• 形式的随伴と外微分を適用して $L^k_\ell = q^k \mathbb{K}_\ell q_k$ を定義し、重み $w = \ell - n/2 + k$ の $k$-形式上での共形不変作用素を得る。
• 次元に関する多項式的続拡を用いて、$L^k_\ell$ 作用素からQ曲率を回復する。これはブラソンの元来の構成を微分形式へ一般化する。
• 分割作用素とトランスポート接続を用いて、アンビエント構成を基底多様体上の標準de Rham複体に関連付ける。
• 接続の共形変換法則を適用して、得られた作用素の共形不変性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数次元の共形幾何学において、de Rham調和関数の共形不変な置き換えを構成できるか？
• RQ2 各微分形式バンドル上で、楕円的強制的かつ共形不変な系に拡張できるゲージ作用素が存在するか？
• RQ3 一様な構成法を用いて、ブラソンのQ曲率を微分形式へ一般化できるか？
• RQ4 新たに構築された共形不変作用素は強く不変であるか、それともより洗練された不変構造を示すか？
• RQ5 Q曲率は、微分形式上の一般化GJMS型作用素の多項式的続拡から回復可能か？

主な発見

• 構築された微分形式間の共形不変微分作用素は、命題1.1で示されるように強く不変でない。
• 一般化された $L^k_\ell$ 作用素の多項式的続拡を用いてQ曲率が回復され、ブラソンの元来の構成が微分形式へ拡張された。
• 特に $k=0$ の場合、重み付き密度上の作用素 $L^0_\ell$ はGJMS作用素と一致し、$\ell = n/2$ とすると標準的なQ曲率が $Q_0 1$ として得られる。
• 作用素 $L^k_\ell$ は共形不変で、$2\ell$ 階の作用素として $k$-形式（重み $w = \ell - n/2 + k$）に作用し、臨界定常ラプラシアンを一般化する。
• この構成により、de Rham複体が楕円的強制的系に一貫して完成される共形不変作用素の族が確立される。
• アンビエント計量とトランスポート微積分は、次元とリーマン不変量に関する多項式式でこれらの作用素を表現する普遍的枠組みを提供する。