[論文レビュー] Conformal decomposition in canonical general relativity

Charles H. T. Wang|ArXiv.org|Mar 15, 2006

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一般相対性理論における新しい正準変換を導入し、共形因子 $\phi$ を正準変数に昇格させることで、重力の正準形式の簡素化を図っている。$\tilde{\pi}^{ab}$ および $\tilde{\pi}$ を用いた運動量の再定義により、$\phi$ が正準変数である $\Phi$-変数 $(\gamma_{ab}, \tilde{\pi}^{ab}; \phi, \tilde{\pi})$ を構成する。これにより、ハミルトニアンと制約がより洗練された形となり、ループ量子重力における共形的アプローチの基盤が提供される。

ABSTRACT

A new canonical transformation is found that enables the direct canonical treatment of the conformal factor in general relativity. The resulting formulation significantly simplifies the previously presented conformal geometrodynamics. It provides a further theoretical basis for the conformal approach to loop quantum gravity and offers a generic framework for the conformal analysis of spacetime dynamics.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論の正準形式を、共形因子を正準変数として扱うことで簡素化すること。
• ヨークの共形分解におけるハミルトニアン制約の非線形的依存性を、共形因子に起因するものから除去することで、複雑さを解消すること。
• ループ量子重力における共形的アプローチを支援する新たな理論的枠組みを提供すること。
• ADM 変数から、共形因子 $\phi$ が新たな変数に対し正準運動量として共役する新しい変数系への正準変換を構築すること。

提案手法

• 共形因子の運動量構造からの分離を図るため、新しい運動量 $\tilde{\pi}^{ab} = \pi^{ab} - \frac{1}{2}\phi^6 \mu_\gamma \tau \gamma^{ab}$ および $\tilde{\pi} = -6\phi^5 \mu_\gamma \tau$ を定義する。
• 物理的計量と運動量を $g_{ab} = \phi^4 \gamma_{ab}$ および $p^{ab} = \phi^{-4} \tilde{\pi}^{ab}$ として表現し、共形不変性を保証する。
• $\Phi$-変数 $(\gamma_{ab}, \tilde{\pi}^{ab}; \phi, \tilde{\pi})$ の正準ポアソン括弧構造を導出し、それらが正準的であることを確認する。
• ハミルトニアン制約 $\mathcal{H}$ と微分同型制約 $\mathcal{C}_a$ を $\Phi$-変数で再表現し、$\phi$ における非線形性を除去する。
• 共形変換をポアソン括弧によって生成する共形制約 $\mathcal{C} = \gamma_{ab} \tilde{\pi}^{ab} - \frac{1}{4}\phi \tilde{\pi}$ を導入する。
• 全制約集合 $\{\mathcal{C}, \mathcal{C}_a, \mathcal{H}\}$ が $\Phi$-変数のポアソン括弧の下で第一種系をなすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正準一般相対性理論における共形因子 $\phi$ を正準変数に昇格させることは可能か？ これによりハミルトニアン構造が簡素化されるか？
• RQ2 正準変換を用いて、共形因子に依存するハミルトニアンの非線形性をどのように除去できるか？
• RQ3 共形因子を正準変数として扱った場合、ハミルトニアンと制約代数の新たな形はどのようなものか？
• RQ4 新しい形式でも制約の第一種性とディラック代数が保存されるか？
• RQ5 この新しい正準枠組みは、ループ量子重力における共形的アプローチを支持できるか？

主な発見

• 共形因子 $\phi$ が新たな正準変換により正準変数に成功して昇格され、$\tilde{\pi}$ がその共役運動量としての $\Phi$-変数を形成した。
• $\Phi$-変数におけるハミルトニアン制約 $\mathcal{H}$ は $\mathcal{H} = \phi^{-6} \mu_\gamma^{-1} \gamma_{abcd} \tilde{\pi}^{ab} \tilde{\pi}^{cd} - \phi^2 \mu_\gamma R_\gamma + 8 \mu_\gamma \phi \Delta_\gamma \phi$ に簡略化され、元の形よりも著しく単純化されている。
• 微分同型制約は $\mathcal{C}_a = -2 \nabla_\gamma{}_b \tilde{\pi}^{b}{}_a + \tilde{\pi} \phi_{,a}$ に再表現され、$\tau$ および $\mu$ への明示的依存性が除去された。
• 共形制約 $\mathcal{C} = \gamma_{ab} \tilde{\pi}^{ab} - \frac{1}{4} \phi \tilde{\pi}$ は共形変換を生成し、物理的計量および運動量との弱い可換性を保ち、それらの不変性を維持する。
• $\Phi$-変数のポアソン括弧の下で、全制約集合 $\{\mathcal{C}, \mathcal{C}_a, \mathcal{H}\}$ が第一種系をなすことが確認され、新しい正準枠組みの整合性が裏付けられた。
• $\Phi$-変数における一般相対性理論の正準作用は $\int dt \int d^3x \left[ \tilde{\pi}^{ab} \dot{\gamma}_{ab} + \tilde{\pi} \dot{\phi} - N\mathcal{H} - N^a \mathcal{C}_a - \Lambda \mathcal{C} \right]$ であり、共形構造と共形因子のダイナミクスが明確に分離されている。