[論文レビュー] Conformal equivalence between certain geometries in dimension 6 and 7

Richard Cleyton, Stefan Ivanov|ArXiv.org|Jul 20, 2006

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、コンformalクラス $Ω_1 + Ω_4$（SU(3) 構造）および $Ψ_1 + Ψ_4$（G₂ 構造）におけるコンpact 6次元および7次元多様体が、定数スカラー曲率を持つための必要十分条件を確立している。その条件は、それぞれほぼ平行な nearly Kähler 多様体または標準球面にコンformal同値である場合に限る。この結果は、ほぼ平行構造へのコンformal同値性と、内在 torsion 成分および微分形式を用いた曲率解析に依拠している。

ABSTRACT

For G_2-manifolds the Fernández-Gray class X_1+X_4 is shown to consist of the union of the class X_4 of G_2-manifolds locally conformal to parallel G_2-structures and that of conformal transformations of nearly parallel or weak holonomy G_2-manifolds of type X_1. The analogous conclusion is obtained for Gray-Hervella class W_1+W_4 of real 6-dimensional almost Hermitian manifolds: this sort of geometry consists of locally conformally Kähler manifolds of class W_4 and conformal transformations of nearly Kähler manifolds in class W_1. A corollary of this is that a compact SU(3)-space in class W_1+W_4 or G_2-space of the kind X_1+X_4 has constant scalar curvature if only if it is either a standard sphere or a nearly parallel G_2 or nearly Kähler manifold, respectively. The properties of the Riemannian curvature of the spaces under consideration are also explored.

研究の動機と目的

• スカラー曲率に関して、$Ω_1 + \u03a9_4$ および $\u03a8_1 + \u03a8_4$ のコンformalクラスにおけるコンpact 6次元および7次元多様体を特徴付けること。
• このような多様体が定数スカラー曲率を持つのは、ほぼ平行または標準球面にコンformal同値である場合に限ることを証明すること。
• 内在 torsion 成分 $\mathcal{X}_1$ および $\mathcal{X}_4$（または $\mathcal{W}_1$ および $\mathcal{W}_4$）が、コンformal同値性によって、全クラス $\mathcal{X}_1 + \mathcal{X}_4$（または $\mathcal{W}_1 + \mathcal{W}_4$）を生成することを確立すること。
• これらの多様体の曲率構造を解析し、厳密なクラス $\mathcal{X}_1 + \mathcal{X}_4$ や $\mathcal{W}_1 + \mathcal{W}_4$ におけるEinstein計量が定数曲率をもたらし、標準球面にコンformal同値であることを示すこと。

提案手法

• G₂ 構造およびSU(3) 構造の内在 torsion 成分を記述する外微分 $d\omega_i$ を持つ微分形式 $\omega_i$ の使用。
• これらの形式に対して $d^2 = 0$ から導かれる一次の恒等式を適用し、torsion 成分を制約すること。
• Weyl曲率のコンformal不変性を活用し、コンformalクラス間での曲率形式を関連させること。
• 補題3を用いて、$d\phi + \phi \alpha = 0$ を満たす非自明関数 $\phi$ が $\alpha = -d\log|\phi|$ を意味することを示すこと。
• グローバルコンフォーマル変換の議論を用いた証明により、非自明な $\mathcal{X}_1$ または $\mathcal{W}_1$ 成分が、ほぼ平行構造へのグローバルコンフォーマル同値性を強制することを示すこと。
• 第一ビアンキ恒等式および曲率分解を用いて、厳密なクラス $\mathcal{X}_1 + \mathcal{X}_4$ や $\mathcal{W}_1 + \mathcal{W}_4$ におけるEinstein計量が定数曲率を持つことを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト7次元多様体が $\mathcal{X}_1 + \mathcal{X}_4$ クラスにあるとき、どのような条件下で定数スカラー曲率を持つのか？
• RQ2 定数スカラー曲率を持つコンパクト6次元多様体が $\mathcal{W}_1 + \mathcal{W}_4$ クラスにある場合、常に標準6次元球面にコンフォーマル同値であるか、またはnearly Kählerであるか？
• RQ3 $G_2$ 構造におけるクラス $\mathcal{X}_1 + \mathcal{X}_4$ は、グローバルに $\mathcal{X}_4$ と $\mathcal{X}_1$ のコンフォーマルクラスに分解可能か？
• RQ4 Einstein計量が厳密なクラス $\mathcal{X}_1 + \mathcal{X}_4$ や $\mathcal{W}_1 + \mathcal{W}_4$ に属する場合、どのような曲率的性質が特徴的か？
• RQ5 非自明な $\mathcal{X}_1$ または $\mathcal{W}_1$ torsion 成分の存在は、グローバルにほぼ平行構造にコンフォーマル同値であることを意味するか？

主な発見

• コンパクト7次元 $G_2$-多様体がクラス $\mathcal{X}_1 + \mathcal{X}_4$ にあるとき、定数スカラー曲率を持つための必要十分条件は、それがほぼ平行または標準7次元球面にコンフォーマル同値である場合に限る。
• コンパクト6次元ほぼ複素多様体がクラス $\mathcal{W}_1 + \mathcal{W}_4$ にあるとき、定数スカラー曲率を持つための必要十分条件は、それがnearly Kählerまたは標準6次元球面にコンフォーマル同値である場合に限る。
• $G_2$-構造におけるクラス $\mathcal{X}_1 + \mathcal{X}_4$ は、$\mathcal{X}_1$（ほぼ平行）および $\mathcal{X}_4$（局所コンフォーマル平行）によってグローバルに生成され、非自明な $\mathcal{X}_1$ がグローバルコンフォーマル同値性を意味する。
• 厳密クラス $\mathcal{X}_1 + \mathcal{X}_4$ における完全Einstein計量に対しては、多様体は定数曲率空間（球面、双曲空間、ユークリッド空間）に等長である。
• このような多様体の曲率テンソルは $R^g = R^{\mathfrak{g}} + \frac{s_g}{2n(n-1)}\mathrm{Id}_{\Lambda^2}$ に分解され、$R^{\mathfrak{g}}$ はほぼ平行なホロノミー代数に対応する。
• 曲率が (7.1) の形をしている場合、$R^{\mathfrak{g}} = 0$ であり、多様体は定数截曲率をもち、$R^{\mathfrak{g}} = 0$ であることが示される。