[論文レビュー] Conformal Field Theories as Scaling Limit of Anyonic Chains

Modjtaba Shokrian Zini, Zhenghan Wang|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非相対論的量子理論の低エネルギースケーリング極限について数学的枠組みを提案し、特に任意のonsk チェーンに適用することで、イジング最小模型 $M(4,3)$ を含む、チャーラルなユニタリな有理的共形場理論（CFT）がスケーリング極限として現れることを示している。Temperley-Lieb生成子とVirasoro生成子の間の明確な代数的対応関係を確立し、イジング模型で検証した上で、提案された収束条件のもとで、すべてのユニタリ最小模型 $M(k+2,k+1)$、$k \geq 3$ についてその有効性を仮説として提示している。

ABSTRACT

We provide a mathematical definition of a low energy scaling limit of a sequence of general non-relativistic quantum theories in any dimension, and apply our formalism to anyonic chains. We formulate Conjecture 4.3 on conditions when a chiral unitary rational (1+1)-conformal field theory would arise as such a limit and verify the conjecture for the Ising minimal model $M(4,3)$ using Ising anyonic chains. Part of the conjecture is a precise relation between Temperley-Lieb generators $\{e_i\}$ and some finite stage operators of the Virasoro generators $\{L_m+L_{-m}\}$ and $\{i(L_m-L_{-m})\}$ for unitary minimal models $M(k+2,k+1)$ in Conjecture 5.5. A similar earlier relation is known as the Koo-Saleur formula in the physics literature [39]. Assuming Conjecture 4.3, most of our main results for the Ising minimal model $M(4,3)$ hold for unitary minimal models $M(k+2,k+1), k\geq 3$ as well. Our approach is inspired by an eventual application to an efficient simulation of conformal field theories by quantum computers, and supported by extensive numerical simulation and physical proofs in the physics literature.

研究の動機と目的

• 一般の非相対論的量子理論（任意の次元）の低エネルギースケーリング極限に対する厳密な数学的定義を構築すること。
• 任意のonsk チェーンのスケーリング極限として、チャーラルでユニタリな有理的（1+1次元）共形場理論（CFT）が出現するかを調査すること。
• ユニタリ最小模型に対して、Temperley-Lieb代数生成子とVirasoro代数生成子の間の対応関係を検証すること。
• 量子コンピュータを用いた共形場理論の効率的量子シミュレーションの基盤を提供すること。
• 有限な任意のonsk チェーンから、頂点 operator 代数や局所的共形ネットにおける局所的観測可能量の代数を回復すること。

提案手法

• 量子理論の低エネルギースケーリング極限の形式的枠組みを導入し、観測可能量の収束を代数として焦点化する。
• 形式的枠組みをイジング任意onsk チェーンに適用し、局所的観測可能量の極限およびその代数的構造を分析する。
• Temperley-Lieb生成子 $\{e_i\}$ とVirasoro代数の有限段階の演算子 $\{L_m + L_{-m}\}$ および $\{i(L_m - L_{-m})\}$ の間の明確な関係を確立する。
• 滑らか化および点状の頂点演算子を用いて、スケーリング極限における相関関数を定義し、滑らか化関数の分布的極限のもとでの収束を示す。
• Wightmanの観測可能量と局所的共形ネットを用いて、連続極限の代数的特徴付けを行う。
• 数学的仮説を支持するために、数値シミュレーションおよび物理学者の文献からの物理的証明に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、チャーラルでユニタリな有理的（1+1次元）共形場理論が任意のonsk チェーンのスケーリング極限として出現するか？
• RQ2 スケーリング極限において、Temperley-Lieb生成子とVirasoro生成子の間の明確な代数的対応関係を確立できるか？
• RQ3 任意のonsk チェーンにおける滑らか化および点状の相関関数は、スケーリング極限でどのように連続的対応関数に収束するか？
• RQ4 頂点 operator 代数や局所的共形ネットにおける局所的観測可能量の代数は、有限な任意のonsk チェーンからどの程度回復可能か？
• RQ5 スケーリング極限における空間的およびエネルギー的隠れ局所性の役割は何か。また、CFTの量子シミュレーションを支援する仕組みとしてどのように機能するか？

主な発見

• イジング最小模型 $M(4,3)$ が、イジング任意onsk チェーンのスケーリング極限として出現することが示され、この場合の予想4.3が検証された。
• Temperley-Lieb生成子 $e_i$ とVirasoro生成子 $L_m + L_{-m}$ および $i(L_m - L_{-m})$ の間の明確な関係が確立され、Koo-Saleurの公式が一般化された。
• 重ね合わない台を持つデルタ関数的滑らか化関数の極限において、滑らか化された相関関数が点状相関関数に収束することが厳密に正当化された。
• 頂点 operator 代数および局所的共形ネットにおける $M(4,3)$ の局所的観測可能量の代数が、任意のonsk チェーンの形式的枠組みから回復された。
• 予想4.3を仮定すれば、イジング模型の結果は、$k \geq 3$ に対してすべてのユニタリ最小模型 $M(k+2,k+1)$ に拡張可能であり、CFT出現の一般的メカニズムを示唆している。
• 本フレームワークは、任意のonsk チェーンを介して有限で計算可能なモデルを構築することで、量子コンピュータ上での共形場理論のシミュレーションという最終的目標を支援している。