[論文レビュー] Conformal field theory: a case study

Krzysztof Gawędzki|ArXiv.org|Apr 21, 1999

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 35被引用数 83

ひとこと要約

本稿は、2次元共形場理論（CFT）の代表例としてのWess-Zumino-Witten（WZW）模型について、関数積分による量子化を用いて正確に解き、無限次元の対称性を探索する教育的入門を提供する。主な貢献は、モジュラー不変性とVerlindeの公式を用いて境界状態の表現を導出することであり、有理的CFTにおける開弦と閉弦の振幅の整合性を確立する。

ABSTRACT

This is a set of introductory lecture notes devoted to the Wess-Zumino-Witten model of two-dimensional conformal field theory. We review the construction of the exact solution of the model from the functional integral point of view. The boundary version of the theory is also briefly discussed.

研究の動機と目的

• Wess-Zumino-Witten模型を2次元共形場理論の代表例として、自己完結的かつ入門的な扱いを提供すること。
• WZW模型の関数積分形式を展開し、トポロジカルなWZW項とそのリーマン面への正則化を含むこと。
• Ward恒等式とKnizhnik-Zamolodchikov接続を介して、WZW模型と3次元のChern-Simons理論の関係を確立すること。
• モジュラー不変性とVerlindeの公式を用いて、有理的CFTにおける境界状態の表現を導出すること。
• 境界WZW模型において、開弦と閉弦の振幅の整合性を、分配関数の明示的計算を通じて示すこと。

提案手法

• WZW模型は、リーマン面からコンパクトなリー群Gへの写像の関数積分として定式化され、トポロジカルなWZW項を含むが、これは位相的正則化を要する。
• 群多様体上の調和解析を用いて理論を解析し、ヒルベルト空間の状態における左右分離型電流代数とバーリンゾ・生成子を構成する。
• 電流演算子の演算子積展開（OPE）を用いて、無限次元の共形および左右分離型対称性の代数的構造を記述する。
• 境界条件は境界状態を介して導入され、開弦の分配関数はモジュラーS行列とVerlindeの公式を用いて計算される。
• Knizhnik-Zamolodchikov接続を用いて、リーマン面上の異なる複素構造における状態のヒルベルト空間を関連付ける。
• 境界振幅の整合性は、二通りの独立した計算——境界状態を介した計算とモジュラー変換を介した計算——が同一の結果をもたらすことで確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トポロジカルなWZW項のため、関数積分的手法によるWess-Zumino-Witten模型の整合的量子化はどのように達成できるか？
• RQ2 無限次元の左右分離型および共形対称性は、2次元CFTにおける状態のヒルベルト空間の構造にどのように寄与するか？
• RQ3 有理的CFTにおける境界状態はどのように決定され、モジュラーS行列およびVerlindeの公式とどのような関係にあるか？
• RQ4 Knizhnik-Zamolodchikov接続は、異なる複素構造を持つリーマン面上の量子状態をどのように関連付けるか？
• RQ5 境界CFTにおける開弦と閉弦の振幅の整合性の背後にある代数的構造は何か？

主な発見

• 与えられた一次元的場に対して、境界状態はモジュラーS行列を用いてVerlinde基底状態の線形結合として導出され、係数はS^{ar{R}_ u}_Rで与えられる。
• 境界状態を介した開弦の分配関数は、モジュラー変換τ → -1/τによる閉弦の分配関数と一致し、整合性が確認される。
• 長さLのトーラス上の分配関数は、表現の和∑_R χ_{ar{R}}(τ,1)として表され、τ = Li/(2π)であり、Verlindeの公式と一致する。
• 融合係数N^{ar{R}}_{ar{R}_ u R_{ u'}}は、Verlindeの公式によりモジュラーS行列から回復され、N^{ar{R}}_{ar{R}_ u R_{ u'}} = ∑_R (S^1_R)^{-1} S^{ar{R}_ u}_R S^{R_{ u'}}_R S^R_{ar{R}}と表される。
• 境界状態を介した振幅計算とモジュラー不変性を介した計算が一致することにより、有理的CFTにおける境界状態のCardyの公式の妥当性が裏付けられる。
• 振幅系は、開弦系において非可換な代数的アレブロイド構造を持ち、閉弦系においては可換な代数を示す。これは、境界CFTにおける深い代数的構造を反映している。