[論文レビュー] Conformal field theory at central charge c=0: a measure of the indecomposability (b) parameters

Jérôme Dubail, Jesper Lykke Jacobsen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 40被引用数 40

ひとこと要約

本稿では、中心電荷 $ c = 0 $ の対称性理論における非可解性を測るパラメータ $ b $ を数値的に測定する手法を提示する。$ L_{-2}|0\rangle $ の格子状態を構築し、格子内積を制御し、ハミルトニアンおよび転送行列におけるジョルダン細胞を分析することで、高次のスピン系におけるポリマーでは $ b = \frac{5}{6} $、XXZ/超対称表現における永続化では $ b = -\frac{5}{8} $ が得られた。一方、永続化の幾何的表現ではジョルダン細胞は検出されなかった。

ABSTRACT

A good understanding of conformal field theory (CFT) at c=0 is vital to the physics of disordered systems, as well as geometrical problems such as polymers and percolation. Steady progress has shown that these CFTs should be logarithmic, with indecomposable operator product expansions, and indecomposable representations of the Virasoro algebra. In one of the earliest papers on the subject, V. Gurarie introduced a single parameter b to quantify this indecomposability in terms of the logarithmic partner t of the stress energy tensor T. He and A. Ludwig conjectured further that b=-5/8 for polymers and b=5/6 for percolation. While a lot of physics may be hidden behind this parameter - which has also given rise to a lot of discussions - it had remained very elusive up to now, due to the lack of available methods to measure it experimentally or numerically, in contrast say with the central charge. We show in this paper how to overcome the many difficulties in trying to measure b. This requires control of a lattice scalar product, lattice Jordan cells, together with a precise construction of the state L_{-2}|0>. The final result is that b=5/6 for polymers. For percolation, we find that b=-5/8 within an XXZ or supersymmetric representation. In the geometrical representation, we do not find a Jordan cell for L_0 at level two (finite-size Hamiltonian and transfer matrices are fully diagonalizable), so there is no b in this case.

研究の動機と目的

• 長年の未解決問題であった、$ c=0 $ 対称性理論における非可解性を測るパラメータ $ b $ の測定を解決すること。
• ガリエ・ルドルフ予想において中心的な役割を果たすが、長らく測定が困難であった $ b $ を測定可能な数値的手法を開発すること。
• 表現（特に XXZ、超対称、幾何的表現）が $ b $ の存在と値に与える影響を明確にすること。
• 格子モデルにおけるハミルトニアンおよび転送行列のジョルダン細胞構造が、バーリンガー代数の連続極限における性質を正しく捉えているかを検証すること。

提案手法

• 真空上への格子バーリンガー代数作用を用いて、高精度で $ L_{-2}|0\rangle $ の格子状態を構築する。
• 連続極限における CFT 内積構造と整合するように、格子内積を制御する。
• XXZ、超対称、幾何的表現の各々において、ハミルトニアンおよび転送行列のジョルダン細胞構造を分析し、非対角化性を検出する。
• ジョルダン細胞が存在する状況下で、OPE異常パラメータ $ b $ と格子 $ L_0 $ 生成子の行列要素との関係を用いる。
• 状態 $ L_{-2}|0\rangle $ を含む行列要素から $ b(L) $ を計算し、補助パラメータ $ y \neq 1 $ に依存しないことを確認する。
• 異なる表現間での結果を比較し、$ b $ が表現依存であるか、普遍的であるかを判別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポリマーに対する $ c=0 $ 対称性理論における対数的パラメータ $ b $ の数値的値は何か？
• RQ2 XXZ もしくは超対称表現における永続化に対して、$ b $ パラメータは $ -\frac{5}{8} $ に一致するか？
• RQ3 なぜ永続化の幾何的表現ではジョルダン細胞が観測されないのか？ これは $ b $ の存在に何を示唆するか？
• RQ4 格子上の $ L_{-2}|0\rangle $ の構築および内積制御が、対数的対称性理論における $ b $ の信頼性ある測定に使えるか？
• RQ5 テンペリー＝リーマン代数の異なる表現（図形的表現、頂点表現、XXZ）は、ジョルダン細胞の出現と $ b $ の値にどのように影響を与えるか？

主な発見

• パラメータ $ b $ はポリマーに対して数値的に $ \frac{5}{6} $ に測定され、ガリエ・ルドルフ予想の妥当性が裏付けられた。
• 永続化において、XXZ および超対称表現では $ b = -\frac{5}{8} $ が確認され、ハミルトニアンおよび転送行列に非対角化可能なジョルダン細胞が存在した。
• 永続化の幾何的表現では、有限サイズのハミルトニアンおよび転送行列が完全に対角化可能であり、ジョルダン細胞が存在せず、この場合における $ b $ パラメータは定義されないことを示した。
• $ b $ の値は、状態 $ L_{-2}|0\rangle $ の構築に用いた補助パラメータ $ y $ に依存しないことが確認され、手法の整合性が裏付けられた。
• 本手法は、$ b $ 測定における従来の障壁を克服し、ジョルダン細胞構造と内積制御を用いることで、格子モデルが連続極限における $ b $ パラメータを正確に探査可能であることを示した。
• 結果から、$ b $ の存在は表現に依存することが判明した：XXZ/超対称モデルでは存在するが、永続化の幾何的表現では存在しない。