[論文レビュー] Conformal Field Theory Techniques for Large N Group Theory

Michael R. Douglas|ArXiv.org|Mar 30, 1993

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 1被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、大Nユニタリ群表現論に conformal field theory (CFT) 技法を適用し、U(N) 群多様体上の量子力学を円上に存在する自由フェルミオンに写像する。この自由フェルミオンはボソン化され、Das-Jevicki-Sakita の集団場理論に一致する。形式的枠組みにより、Littlewood-Richardson係数が効率的に計算可能となり、D次元 Eguchi-Kawai Yang-Mills 理論の零磁場極限が 1/N の一次項まで解かれ、弦理論と整合する指数的状態密度を持つ分配関数が得られる。

ABSTRACT

We show how to use quantum mechanics on the group manifold U(N) as a tool for problems in U(N) representation theory. The quantum mechanics reduces to free fermions on the circle, which in the large N limit become relativistic. The theory can be bosonized giving the Das-Jevicki-Sakita collective field theory. The formalism is particularly suited to problems involving tensor product multiplicity (Littlewood-Richardson) coefficients. As examples, we discuss the partition function of two-dimensional Yang-Mills theory on the sphere, and the zero magnetic field limit of D-dimensional Eguchi-Kawai Yang-Mills theory. We give the leading O(N^0) solution of the latter theory, using a method which allows computing corrections. Largely (but not completely) superseded by hep-th/9311130.

研究の動機と目的

• U(N) 群多様体上での量子力学的枠組みを構築し、大N表現論を研究すること。
• 自由フェルミオンおよび集団場形式を用いて、テンソル積の重複度（Littlewood-Richardson係数）の計算を簡略化すること。
• D次元 Eguchi-Kawai Yang-Mills 理論の零磁場極限を 1/N の一次項まで解くこと。
• 共有リンクを持つ高次元格子 Yang-Mills 理論のための取り扱いやすい模型を提供すること。
• 対称多項式を通じて、分配関数と弦に類似した指数的状態増加との関係を確立すること。

提案手法

• Weyl の特徴指標公式と不変測度を用いて、U(N) 群の量子力学を円上に存在する N 個の自由フェルミオンに写像する。
• 自由フェルミオンのボソン化を用いて、群多様体上での Das-Jevicki-Sakita 集団場理論を導出する。
• 特徴指標の乗法的性質を、世界面で等しい時間微分を持つ n 線型頂点演算子として表現する。
• D次元 Eguchi-Kawai 理論の分配関数を、n 線型頂点と振動子相互作用を持つ経路積分として構成する。
• ホロノミー変数 q_i = exp(−τ_i) における対称多項式 E_a(q^n) を用いて、O(N⁰) の自由エネルギーを計算する。
• 分配関数を、n ≥ 1 の各項について、q^n 変数の初等対称多項式を含む積の形で導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CFT技法を用いて、大NにおけるU(N)表現におけるテンソル積の重複度をどのように計算できるか。
• RQ2 大N極限における球面上の2次元 Yang-Mills 理論の分配関数の構造は何か。
• RQ3 D次元 Eguchi-Kawai Yang-Mills 理論の零磁場極限を 1/N の一次項まで解くことができるか。
• RQ4 群多様体上での集団場理論およびフェルミオン的記述は、Littlewood-Richardson係数の計算にどのように関係するか。
• RQ5 低次元化された Yang-Mills モデルの大N極限における状態密度は何か。また、これは弦に類似した振る舞いを示すか。

主な発見

• D=3 の Eguchi-Kawai Yang-Mills 理論の O(N⁰) 分配関数は、Z₃ = ∏_{n≥1} (1 − ∑_{i<j} q_i^n q_j^n + 2q₁^n q₂^n q₃^n)^{-1} (1 − ∑_{i<j} q_i^n q_j^n − 2q₁^n q₂^n q₃^n)^{-1} で与えられる。
• q₁ = q₂ = q、q₃ = 1 とおくと、Z_EK3 = ∏_{n≥1} (1−q^n)^{-2} (1+q^n)^{-1} (1−3q^n)^{-1} + O(1/N²) となり、指数的状態密度の増加が示される。
• 分配関数における (1−3q^n) 項は、状態密度に弦に類似した振る舞いがあることを確認しており、双対的な弦理論的記述と整合する。
• この形式的枠組みにより、フェルミオン的 CFT フレームワークにおける波動関数の乗法的性質を用いて、Littlewood-Richardson係数の効率的計算が可能になる。
• 自由エネルギーに N² 項が存在しないことから、球面分配関数に起因する複雑さがなく、O(N⁰) の計算が簡略化されている。
• n 線型頂点演算子により、ホロノミー演算子の整合的な結合が保証され、CFT フレームワーク内での特徴指標の乗法的演算の正確な計算が可能になる。