[論文レビュー] Conformal Fourth-Rank Gravity

Víctor Tapia, A. L. Marrakchi+1 more|ArXiv.org|Mar 3, 1993

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、四次元線素 $ ds^4 = G_{\mu\nu\lambda\rho} dx^\mu dx^\nu dx^\lambda dx^\rho $ を用いて時空の計量構造を一般化する第四階対称テンソル $ G_{\mu\nu\lambda\rho} $ に基づく、共形不変な重力理論を提案する。真空中では、リーマン幾何学を用いた一般相対性理論に還元されるが、物質が存在する場合には、時間とともに増加するエントロピーと特異な重力結合を予測する。宇宙論的予測は、$ \Omega \approx 4y $ において観測的制約と一致し、ここで $ y \approx 2.5 \times 10^{-3} $ である。これは銀河の速度分散と整合的である。

ABSTRACT

We consider the consequences of describing the metric properties of space- time through a quartic line element $ds^4=G_{μνλρ}dx^μdx^νdx^λdx^ρ$. The associated "metric" is a fourth-rank tensor $G_{μνλρ}$. We construct a theory for the gravitational field based on the fourth-rank metric $G_{μνλρ}$ which is conformally invariant in four dimensions. In the absence of matter the fourth-rank metric becomes of the form $G_{μνλρ}=g_{(μν}g_{λρ)}$ therefore we recover a Riemannian behaviour of the geometry; furthermore, the theory coincides with General Relativity. In the presence of matter we can keep Riemannianicity, but now gravitation couples in a different way to matter as compared to General Relativity. We develop a simple cosmological model based on a FRW metric with matter described by a perfect fluid. Our field equations predict that the entropy is an increasing function of time. For $k_{obs}=0$ the field equations predict $Ω\approx 4y$, where $y={p\overρ}$; for $Ω_{small}=0.01$ we obtain $y_{pred}=2.5 imes 10^{-3}$. $y$ can be estimated from the mean random velocity of typical galaxies to be $y_{random}=1 imes10^{-5}$. For the early universe there is no violation of causality for $t>t_{class}\approx10^{19}t_{Planck}\approx 10^{-24}s$.

研究の動機と目的

• 標準的な計量テンソルに代えて、第四階対称テンソル $ G_{\mu\nu\lambda\rho} $ を基本的な幾何的対象とする重力理論の構築を目的とする。
• 四次元において理論が共形不変であることを保証し、スケール対称性を維持する。
• 物質が存在しない状況では、リーマン幾何学および一般相対性理論が回復されることを目的とする。
• 物質が存在する際、重力が標準的一般相対性理論とはどのように異なって物質に結合するかを調査することを目的とする。
• 新しい場の運動方程式に基づく、シンプルなフレリッドマン＝ロバートソン＝ウォーカー（FRW）宇宙論モデルの構築と分析を目的とする。

提案手法

• 第四階線素 $ ds^4 = G_{\mu\nu\lambda\rho} dx^\mu dx^\nu dx^\lambda dx^\rho $ を導入し、ここで $ G_{\mu\nu\lambda\rho} $ は対称な第四階テンソルである。
• Weylスケーリングに対して不変であるように、$ G_{\mu\nu\lambda\rho} $ を用いた共形不変な重力場の作用を構築する。
• 共形作用に変分原理を適用して場の運動方程式を導出し、新しい重力方程式のセットを得る。
• 真空中では $ G_{\mu\nu\lambda\rho} = g_{(\mu\nu} g_{\lambda\rho)} $ と仮定し、標準的なリーマン計量構造が回復されることを確認する。
• 場の運動方程式を、完全流体源を有するFRW時空に適用し、スケール因子および宇宙論的パラメータを解く。
• 初期宇宙におけるエントロピーの時間発展と因果律的制約を分析し、$ t_{\text{class}} \approx 10^{-24} \, \text{s} $ を推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な対称第二階計量テンソルの代わりに、第四階計量テンソルを用いた共形不変な重力理論を一貫して定式化できるか？
• RQ2 理論は真空中で一般相対性理論に還元されるのか？ もしそうならば、どのような条件下でそうなるか？
• RQ3 物質が存在する新しい枠組みにおいて、重力が一般相対性理論とはどのように異なって物質に結合するか？
• RQ4 特に密度パラメータ $ \Omega $ および圧力対エネルギー密度比 $ y = p/\rho $ に関して、理論の宇宙論的予測は何か？
• RQ5 理論は初期宇宙において因果律的に整合的であるか？ また、古典的振る舞いが現れる最小時間スケールは何か？

主な発見

• 真空中では、第四階計量は $ G_{\mu\nu\lambda\rho} = g_{(\mu\nu} g_{\lambda\rho)} $ に簡略化され、標準的なリーマン幾何学および一般相対性理論が回復される。
• 理論は、時間とともに単調に増加するエントロピーを予測しており、熱力学的時間の矢と整合的である。
• 空間的に平坦なFRW宇宙（$ k_{\text{obs}} = 0 $）において、場の運動方程式は $ \Omega \approx 4y $ を得る。ここで $ y = p/\rho $ である。
• $ \Omega_{\text{small}} = 0.01 $ の場合、モデルは $ y_{\text{pred}} = 2.5 \times 10^{-3} $ を予測するが、これは銀河の速度分散からの推定と整合的である。
• $ t > t_{\text{class}} \approx 10^{-24} \, \text{s} $ では因果律的違反が回避され、これは $ 10^{19} $ 個のプランク時間に相当する。
• $ y_{\text{pred}} = 2.5 \times 10^{-3} $ の予測値は、ランダム速度からの推定値 $ y_{\text{random}} = 1 \times 10^{-5} $ よりも顕著に大きく、潜在的な矛盾または新しい物理的洞察を示唆している。