[論文レビュー] Conformal geometry of the supercotangent and spinor bundles

Jean-Philippe Michel|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 49被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、共形平坦な擬リーマン多様体 (M,g) 上の古典的スーパ座谈angent bundle と量子スピンオーバー束の間の幾何的量子化枠組みを確立する。局所的共形ベクトル場のスーパ座谈angent bundle 上へのハミルトニアン上昇を構成することで、幾何的量子化がスピンオーバー束を量子表現空間として得ることを示し、Kosmann のスピン場に対するリー微分を量子化作用として同定する。主たる貢献は、記号および微分作用素の空間に conf(M,g)-加群構造を構成し、共形同値な量子化が記号加群と作用素加群の間の同型を与えることにある。

ABSTRACT

We establish, via geometric quantization of the supercotangent bundle sM of (M,g), a correspondence between its conformal geometry and those of the spinor bundle. In particular, the Kosmann Lie derivative of spinors is obtained by quantization of the comoment map, associated to the new Hamiltonian action of conf(M,g) on sM. We study then the conf(M,g)-module structures induced on the space of differential operators acting on spinor densities and on its spaces of symbols (functions on sM). In the conformally flat case, we classify their conformal invariants, including the conformally odd powers of the Dirac operator.

研究の動機と目的

• 共形平坦な擬リーマン多様体 (M,g) のスーパ座谈angent bundle における幾何的量子化枠組みを確立すること。
• スーパ座谈angent bundle の幾何的量子化が、量子表現空間としてスピンオーバー束を生じることを示すこと。
• 局所的共形ベクトル場をスーパ座谈angent bundle にハミルトニアン上昇させ、その量子化が Kosmann のスピン場に対するリー微分に同定されることを示すこと。
• スピン密度に作用する記号および微分作用素の空間に conf(M,g)-加群構造を構成すること。
• 共形同値な量子化をスピン設定に一般化し、主記号を保存する記号加群と作用素加群の間の同型を確立すること。

提案手法

• 偶数次元のシンプレクティック超多様体に対するRothsteinの表現定理を用いて、M = T*M ×M ΠTM 上の標準的シンプレクティック形式 ω を構成する。
• シンプレクティック超多様体 (M, ω) に対して幾何的量子化を適用し、極分類を用いて量子ヒルベルト空間をスピンオーバー束として構成する。
• 共形ベクトル場のハミルトニアン上昇を、共モーメント写像を用いてスーパ座谈angent bundle に上昇させることで定義する。
• スピン場への conf(M,g) の量子作用を、共モーメント写像の量子化から得られる Kosmann のリー微分として同定する。
• フィルトレーション付きの記号空間 Sδ[ξ]、テンソリアル記号空間 Tδ[ξ]、微分作用素空間 Dλ,µ に conf(M,g)-加群構造を構成する。
• 一般の重み λ, µ に対して、主記号を保存する共形同値な量子化 Qλ,µ: Sδ[ξ] → Dλ,µ の存在および一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬リーマン多様体の古典的スーパ座谈angent bundle に、幾何的量子化に適した標準的シンプレクティック構造をどのように導入できるか？
• RQ2 局所的共形ベクトル場のスーパ座谈angent bundle 上へのハミルトニアン上昇とは何か？ そしてスピン場のリー微分とどのように関係するか？
• RQ3 スーパ座谈angent bundle の幾何的量子化は、標準的なスピンオーバー束およびその自己同型接続を再現できるか？
• RQ4 スピン密度に作用する記号および微分作用素の conf(M,g)-加群構造はどのようなものか？ そして共形同値な量子化によってどのように関係づけられるか？
• RQ5 共形平坦な場合に、関連する階数付き加群から得られる共形不変微分作用素は何か？ そして GJMS 作用素や Q-曲率とどのように関係するか？

主な発見

• スーパ座谈angent bundle (M, ω) の幾何的量子化により、スピンオーバー束が量子表現空間として得られ、古典的および量子位相空間の間の標準的リンクが確立される。
• Kosmann のスピン場に対するリー微分は、共モーメント写像の量子化として自然に現れ、非標準的だが幾何的に自然なこの構成の幾何的実現を与える。
• スピン密度に作用する微分作用素の空間およびその記号の空間の両方が、共通の階数付き加群 Tδ[ξ] と同型な conf(M,g)-加群構造を持つ。
• 共形平坦な場合に、一般の重み λ, µ に対して共形同値な量子化が存在し、一意的であり、主記号を保存する記号加群と作用素加群の間の同型を与える。
• 共形不変量の分類により、スカラーの場合に類似物が存在しない2つの新しい共形的奇数次のディラク作用素のべきが明らかになる。これらは多様体 M の向きに依存する。
• T²ₙ[ξ] に属する不変量 R は S²ₙ[ξ] に上昇しないことから、S²ₙᵀ に対する共形同値なスーパーバイズ化が存在しないことが示され、スピン設定における根本的な障害が特定される。