[論文レビュー] Conformal graph directed Markov systems on Carnot groups

Vasileios Chousionis, Jeremy T. Tyson+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 53被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Carnot群に付随する非リーマン的構造（部分リーマン計量）を持つ、共形的グラフ指向マルコフ系（GDMS）の理論を構築する。自然な仮定の下で、極限集合のハウスドルフ次元がボーウェンのパラメータに等しいことを証明し、古典的な共形的反復関数系の結果を部分リーマン幾何に一般化する。

ABSTRACT

We develop a comprehensive theory of conformal graph directed Markov systems in the non-Riemannian setting of Carnot groups equipped with a sub-Riemannian metric. In particular, we develop the thermodynamic formalism and show that, under natural hypotheses, the limit set of an Carnot conformal GDMS has Hausdorff dimension given by Bowen's parameter. We illustrate our results for a variety of examples of both linear and nonlinear iterated function systems and graph directed Markov systems in such sub-Riemannian spaces. These include the Heisenberg continued fractions introduced by Lukyanenko and Vandehey as well as Kleinian and Schottky groups associated to the non-real classical rank one hyperbolic spaces.

研究の動機と目的

• リーマン多様体を超えて、Carnot群の非リーマン的設定へ共形的グラフ指向マルコフ系（GDMS）の理論を拡張すること。
• Carnot群における部分リーマン構造に特化した熱力学的形式主義を構築すること。
• この非ユークリッド的文脈における極限集合のハウスドルフ次元に対する一般式を確立すること。
• ヘイゼンベルクの連分数やランク1の双曲空間におけるクラインィアン／ショットキー群といった具体的な例に、この枠組みを適用すること。
• 部分リーマン力学およびディオファントス近似における次元論の既存結果を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 水平分布と整合する共形構造を用いて、Carnot群の部分リーマン設定に古典的熱力学的形式主義を適応する。
• 境界における無限遠での遷移則と共形的圧縮写像を用いて、Carnot群上での共形的GDMSを定義する。
• 圧力関数と均衡状態を用いて、極限集合の次元を分析する。
• ボーウェンのパラメータを、圧力関数が消える臨界指数として定義する。
• 標準的な開集合条件および有界歪み条件の下で、均衡状態の存在と一意性を確立する。
• 変分原理を適用して、極限集合のハウスドルフ次元を圧力関数のゼロと関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共形的グラフ指向マルコフ系（GDMS）の熱力学的形式主義は、部分リーマン計量を備えたCarnot群へどのように拡張可能か？
• RQ2 この非リーマン的文脈において、極限集合のハウスドルフ次元と圧力関数の関係は何か？
• RQ3 ボーウェンのパラメータによる次元公式は、実双曲空間からより一般のCarnot群へ一般化可能か？
• RQ4 Carnot群上での非線形反復関数系から生じる極限集合の力学的および幾何的性質は何か？
• RQ5 ヘイゼンベルクの連分数といった古典的例は、この一般化枠組みにどのように適合するか？

主な発見

• 標準的な仮定の下で、Carnot群上における共形的GDMSの極限集合のハウスドルフ次元は、ボーウェンのパラメータに等しい。
• 共形的GDMSの熱力学的形式主義は、Carnot群の部分リーマン設定へ成功裏に拡張された。
• 圧力関数は、極限集合のハウスドルフ次元においてちょうどゼロとなる。これは古典的結果を一般化する。
• この枠組みは、部分リーマン空間における線形および非線形反復関数系の両方に適用可能である。
• ヘイゼンベルクの連分数や非実数のランク1双曲空間（例：クラインィアン群やショットキー群）といった具体例が、理論に適合することが示された。
• 本研究の結果は、Carnot群上における部分リーマン幾何およびディオファントス近似の次元論の既存結果を統一的かつ一般化する。