[論文レビュー] Conformal Gravity with Dirac Matter

Luca Fabbri|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2011

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ディラック物質場と結合されたコンフォーマル重力理論を開発し、質量ゼロのスピン1/2場のためトレース条件が自明になる一方で、スピン密度テンソルの完全反対称性がねじれおよび曲率に深刻な制約を課し、ねじれが存在しない場合でさえ計量に非自明な制約をもたらすことを示している。力学的性質はアインシュタイン重力とは根本的に異なり、ねじれが存在するにもかかわらずディラック方程式に非線形自己相互作用が生じない。

ABSTRACT

Recently, we have constructed the conformal gravity with metric and torsion, finding the gravitational field equations that give the conservation laws and trace condition; in the present paper we apply this theory to the case of the Dirac matter field: we shall see that in this case the trace condition becomes trivial, but further constraints arise, which will impose severe limitations on the dynamics of such a system.

研究の動機と目的

• コンフォーマル不変性を保ちつつ、計量とねじれを含むコンフォーマル重力に拡張すること。
• ディラック物質場がねじれを伴うコンフォーマル重力にどのように結合するかを、保存則とトレース条件に注目して分析すること。
• コンフォーマル重力の文脈において、スピン密度テンソルの完全反対称性がもたらす意味を調査すること。
• ねじれを伴うコンフォーマル重力下で、ディラック方程式に非線形自己相互作用が生じるかどうかを特定すること。
• ディラック場をコンフォーマル重力に結合することによって生じる計量および曲率の構造的制約を調査すること。

提案手法

• ワールド形式におけるビアインおよびスピン接続を用いる形式的枠組みで、計量適合性によりビアインとスピン接続の独立性を保証する。
• 非対称接続とカルタンねじれテンソル $ Q_{\sigma\rho\alpha} $ を持つリーマン＝カルタン幾何学を導入し、その独立な部分に分解：トレースレス、軸性ベクトル、トレース成分。
• 計量、ねじれ、スピノル場にコンフォーマル変換を適用し、コンフォーマル因子 $ \sigma $ を用いる。すべての場が $ \sigma $ に関して均等に変換される。
• ねじれを伴う曲がった時空におけるディラック作用を導出し、スピン接続の共変微分 $ \bm{\nabla}_{\mu} $ を含む線形ディラック場の方程式を得る。
• スピン接続 $ \bm{\Omega}_{\mu} = \frac{1}{2}\omega^{ij}_{\phantom{ij}\mu}\bm{\sigma}_{ij} $ を用いてスピン接続の共変微分を定義し、$ \bm{\gamma}_a $ 行列の不変性を保証する。
• 曲率とねじれをWeylコンフォーマルテンソル $ C_{\mu\alpha\sigma\rho} $ とリーマン接続 $ \bm{\nabla}_{\mu} $ に加え、ねじれ寄与項に分解して場の方程式を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピン密度テンソルの完全反対称性は、ディラック物質を伴うコンフォーマル重力の力学にどのように制約を課すか？
• RQ2 コンフォーマル不変性は、計量とねじれに結合するディラック場にどのような意味を持つか？
• RQ3 ねじれを伴うコンフォーマル重力下のディラック方程式は、アインシュタイン＝カルタン理論と同様に非線形自己相互作用を保持するか？
• RQ4 エネルギーおよびスピン密度の場の方程式は、非コンフォーマル重力と比較して、コンフォーマル重力においてどのように異なるか？
• RQ5 ねじれをゼロにした場合、コンフォーマル重力にディラック場を結合した際に、計量に残る制約は何か？

主な発見

• ディラック場の質量ゼロおよびスピン密度テンソルの完全反対称性のため、トレース条件は自明になる。
• ディラック方程式に非線形自己相互作用が存在しないにもかかわらず、計量および曲率テンソルに強い制約が課される。
• スピン密度テンソルの完全反対称性は、ねじれの完全反対称性に完全に対応しないが、ねじれおよび曲率の両方に制約を課す。
• ねじれが消える極限では、曲率テンソルに追加の補助的条件が満たされる場合に限り、理論はWeylコンフォーマル重力に還元される。
• ねじれ寄与項の曲率は、独立な部分に分解される：$ T_{\mu\alpha\sigma} $、軸性ベクトル $ W^\rho $、トレース項。これらすべてがコンフォーマルに変換される。
• ディラック方程式は線形のままであり、$ i\bm{\gamma}^{\mu}\bm{\nabla}_{\mu}\psi - \frac{3}{4}W_{\mu}\bm{\gamma}^{\mu}\bm{\gamma}\psi = 0 $ と表され、ねじれに起因する非線形項は生じない。