[論文レビュー] Conformal invariance and finiteness theorems for non-planar beta-deformed N=4 SYM theory

Federico Elmetti, Andrea Mauri+1 more|ArXiv.org|Oct 25, 2007

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、結合定数還元（CCR）形式主義を用いて、非平面的 $\beta$-変形 $\mathcal{N}=4$ SYM理論における conformal 不変性と有限性を調査する。平面的極限とは異なり、複素 $\beta$ に対して、$g^{10}$ までスキーム独立性が達成可能であり、また、$g^7$ まで chiral ベータ関数が消えると仮定した場合、$g^9$ までゲージ ベータ関数が消えることを確認することで、一般化された有限性定理を裏付けた。

ABSTRACT

We study the conformal invariance of non-planar beta-deformed N=4 SYM theory using the coupling constant reduction (CCR) formalism. We show that up to order g^10, differently from the planar case, we can remove the scheme dependence in the definition of the theory without reducing to the real beta case. We also compute the gauge beta function up to four loops and see that the generalized finiteness theorems proposed in [hep-th: 0705.1483] still hold.

研究の動機と目的

• 非平面的 $\beta$-変形 $\mathcal{N}=4$ SYM理論において、複素 $\beta$ を用いた場合に、conformal 不変性とスキーム独立性が同時に成立するかを調査すること。
• 平面的極限を超えた有限 $N$ 系において、一般化された有限性定理を拡張すること。
• CCR手順が、摂動論の高次の項において、ループ混合とスキーム依存性を適切に取り扱えるかを検証すること。
• ベータ関数を計算する際の簡略化されたと標準的な $\nabla$-代数手法の等価性を確認すること。
• 非平面的状況において、$\mathcal{O}(g^7)$ まで chiral ベータ関数が消えると仮定した場合、$\mathcal{O}(g^9)$ までゲージ ベータ関数が消えるかどうかを同定すること。

提案手法

• 実ゲージ結合定数 $g$ のべき級数として chiral 結合定数を表現するため、CCR形式主義を用い、ループ次数ではなく $g$ のべきの摂動論を展開する。
• 異常次元がゼロ（$\gamma = 0$）となる条件を段階的に要求することで、$\mathcal{O}(g^7)$ まで chiral ベータ関数を計算し、結合定数展開における任意係数を固定する。
• CCRアプローチを用いて、$g^6$ やそれ以降の高次の項で生じる混合ループ貢献（特に、非平面的図が平面的図と同階層に現れる場合）を処理する。
• 標準的なバックグラウンド場手法に共変 $\nabla$-代数を用い、また簡略化されたバージョンを用いて、$\mathcal{O}(g^9)$ までゲージ ベータ関数を計算し、結果の整合性を確認する。
• 両方の $\nabla$-代数手法の結果を明示的に比較し、非平面的状況下でも両者の等価性を確認する。
• 四ループ図の完全な色構造（付録A）を導出し、$f$-関数の計算と有限性解析の支援に用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素 $\beta$ を用いた非平面的 $\beta$-変形 $\mathcal{N}=4$ SYM理論において、平面的極限を超えてスキーム独立な conformal 不変性を達成できるか？
• RQ2 chiral ベータ関数が $\mathcal{O}(g^{2n+1})$ まで消えると仮定した場合、ゲージ ベータ関数が $\mathcal{O}(g^{2n+3})$ まで消えるという一般化された有限性定理—これは有限 $N$ 系においても成立するか？
• RQ3 非平面的理論において、簡略化された $\nabla$-代数手法が標準的手法と等価であるか？
• RQ4 有限 $N$ における三つの独立した実結合定数 $|h_1|^2, |h_2|^2, |h_3|^2$ は、スキーム独立性を達成するために果たす役割は何か？
• RQ5 $g^6$ やそれ以上の高次のループ混合が、conformal 固定点を定義する CCR 手順の整合性に与える影響は何か？

主な発見

• 非平面的理論において、複素 $\beta$ に対して、$\mathcal{O}(g^{10})$ までスキーム依存性が除去可能であり、これは平面的極限とは異なり、$\beta$ が実数でなければならないという制約がなくなることを示している。
• CCR 手順を用いて適切に結合定数係数を固定することで、$\mathcal{O}(g^7)$ まで chiral ベータ関数が消え、異常次元がゼロとなることが保証される。
• $\mathcal{O}(g^9)$ までゲージ ベータ関数が消えることが確認され、$n=3$ の非平面的領域における一般化された有限性定理の妥当性が裏付けられた。
• 簡略化された $\nabla$-代数手法は、標準的手法と同一の結果をもたらし、非平面的計算において $g^9$ まで有効であることが検証された。
• 四ループ色構造 $K_4$ が明示的に計算され、$f$-関数の導出に用いられ、この次数における有限性解析を支援した。
• 有限 $N$ における三つの独立した実結合定数（$|h_1|^2, |h_2|^2, |h_3|^2$）の存在が、複素 $\beta$ に対してスキーム独立な conformal 不変性を達成するための十分な自由度を提供している。