[論文レビュー] Conformal Invariance and Percolation

John Cardy|ArXiv.org|Mar 14, 2001

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 2被引用数 40

ひとこと要約

本稿では、2次元臨界永住化の正確な結果を導出するために共形場理論を適用し、連続極限において貫通確率および貫通クラスターの平均数が共形不変性を示すことを示している。超幾何関数と確率的Loewner方程式（SLE$_6$）を用いてこれらの量の明示的公式を導出し、物理的推論による以前の予想を確認するとともに、スミルノフの共形不変性の証明といった厳密な数学的結果と結びつける。

ABSTRACT

These lectures give an introduction to the methods of conformal field theory as applied to deriving certain results in two-dimensional critical percolation: namely the probability that there exists at least one cluster connecting two disjoint segments of the boundary of a simply connected region; and the mean number of such clusters. No previous familiarity with conformal field theory is assumed, but in the course of the argument many of its important concepts are introduced in as simple a manner as possible. A brief account is also given of some recent alternative approaches to deriving these kinds of result.

研究の動機と目的

• 共形場理論の手法が2次元臨界永住化において正確な結果を導出する方法を説明すること。
• 連続極限における貫通確率および貫通クラスターの平均数の共形不変性を確立すること。
• これらの結果を確率的Loewner方程式（SLE$_6$）およびPottsモデルの$Q \to 1$極限と結びつけること。
• 永住化に興味を持つ非専門家向けに共形場理論の教育的導入を提供すること。

提案手法

• Pottsモデルの$Q \to 1$極限に注目した臨界永住化の分析に共形場理論を用いる。
• リーマン写像定理を応用し、問題を単位円板上の交比$\eta$に簡略化する。
• 超幾何関数を用いて交比$\eta$の関数としての貫通確率$P(\gamma_1,\gamma_2)$を導出する：$P = \frac{\Gamma(2/3)}{\Gamma(4/3)\Gamma(1/3)} \eta^{1/3} {}_2F_1(1/3, 2/3; 4/3; \eta)$。
• SDE $\partial_t g_t(z) = 2 / (g_t(z) - a(t))$ を持つ確率的Loewner方程式（SLE$_6$）を用いる。ここで$a(t)$は$\kappa = 6$のブラウン運動である。
• 貫通確率をSLE$_6$における初到達時間と関連付ける：$P = \mathrm{Pr}(T_{-a} < T_b)$。
• ガンマ関数と対数項を含む級数を用いて貫通クラスターの平均数を導出する：$E[N_c] = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4\pi} \left[ \ln(1-\eta) + 2\sum_{m=1}^\infty \frac{\Gamma(1/3 + m)\Gamma(2/3)}{\Gamma(2/3 + m)\Gamma(1/3)} \frac{(1-\eta)^m}{m} \right]$。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共形場理論をどのように用いて2次元臨界永住化における貫通確率の正確な結果を導出できるか？
• RQ2 連続極限における貫通確率の関数的形は何か？また、交比$\eta$にどのように依存するか？
• RQ3 連続極限における貫通クラスターの平均数はどのように振る舞い、閉形式で表せるか？
• RQ4 永住化と確率的Loewner方程式（SLE$_6$）の間にはどのような関係があるか？
• RQ5 なぜ永住化では測度が共形不変であるのに対し、他の多くの臨界系ではそうではないのか？

主な発見

• 連続極限における貫通確率$P(\gamma_1,\gamma_2)$は共形不変であり、交比$\eta$にのみ依存し、明示的形として$P = \frac{\Gamma(2/3)}{\Gamma(4/3)\Gamma(1/3)} \eta^{1/3} {}_2F_1(1/3, 2/3; 4/3; \eta)$をとる。
• 貫通クラスターの平均数は$E[N_c] = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4\pi} \left[ \ln(1-\eta) + 2\sum_{m=1}^\infty \frac{\Gamma(1/3 + m)\Gamma(2/3)}{\Gamma(2/3 + m)\Gamma(1/3)} \frac{(1-\eta)^m}{m} \right]$で与えられ、これは有限かつ共形不変である。
• $\kappa = 6$のSLE$_6$プロセスは、初到達時間による方法で貫通確率の公式を再現する厳密な確率的枠組みを提供する。
• 臨界定域における永住化測度の共形不変性は、その中心電荷$c = 0$となることと関連しており、他の臨界系とは区別される。
• これらの結果は、スミルノフによる貫通確率の共形不変性の証明といった厳密な数学的証明と整合しており、高精度の数値的検証もなされている。
• 貫通クラスター数の確率分布に対しても、連続極限で有限かつ共形不変な極限が存在し、$\eta$にのみ依存する。