[論文レビュー] Conformal invariance of $\CLE_\kappa$ on the Riemann sphere for $\kappa \in (4,8)$

Ewain Gwynne, Jason Miller+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 28被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、$κ \in (4,8)$ における共形ループ集合（CLE$_\kappa$）がリーマン球面上の反転写像 $z \mapsto 1/z$ に関して不変であることを確立し、全平面設定における共形不変性を証明する。証明は、特定の数の内境界を囲むループをもつアニュラス上に CLE$_\kappa$ を構成し、その共形不変性を示すことに依拠しており、これは法則を一意に特徴づけ、カップリングによる議論により反転不変性を示す。

ABSTRACT

The conformal loop ensemble (CLE) is the canonical conformally invariant probability measure on non-crossing loops in a simply connected domain in $\mathbb C$ and is indexed by a parameter $\kappa \in (8/3,8)$. We consider CLE$_\kappa$ on the whole-plane in the regime in which the loops are self-intersecting ($\kappa \in (4,8)$) and show that it is invariant under the inversion map $z \mapsto 1/z$. This shows that whole-plane CLE$_\kappa$ for $\kappa \in (4,8)$ defines a conformally invariant measure on loops on the Riemann sphere. The analogous statement in the regime in which the loops are simple ($\kappa \in (8/3,4]$) was proven by Kemppainen and Werner and together with the present work covers the entire range $\kappa \in (8/3,8)$ for which CLE$_\kappa$ is defined. As an intermediate step in the proof, we show that CLE$_\kappa$ for $\kappa \in (4,8)$ on an annulus, with any specified number of inner-boundary-surrounding loops, is well-defined and conformally invariant.

研究の動機と目的

• 全平面における CLE$_\kappa$（$\kappa \in (4,8)$）が反転写像 $z \mapsto 1/z$ に関して不変であることを確立し、リーマン球面上のループに対する共形不変測度を定義すること。
• 既知の $\kappa \in (8/3,4]$ の範囲における CLE$_\kappa$ の共形不変性を、全範囲 $\kappa \in (8/3,8)$ にまで拡張し、CLE$_\kappa$ の全体像を完成させること。
• アニュラス上に、内境界を囲むループの数を固定した CLE$_\kappa$ を厳密に定義し、共形不変性を示すことで、主要な中間段階を提供すること。

提案手法

• $\kappa \in (4,8)$ の場合にのみ知られている、分岐 SLE$_\kappa(\kappa - 6)$ 探索木を用いて全平面 CLE$_\kappa$ を構成する。
• アニュラス上での (n,k)-探索プロセスを導入し、ループの進化および内外境界との相互作用を追跡する。
• SLE-装飾 CLE におけるマルコフ性を適用し、探索路の一部を条件づけた場合の、補集合成分における CLE の条件付き法が依然として CLE$_\kappa$ であることを示す。
• SLE と CLE の絶対連続性および到達確率の補題を用いたカップリング議論により、重複する領域における CLE の局所的構成を正の確率で一致させることを実現する。
• 内境界を囲むループ数が固定されたアニュラス上の CLE が、そのマルコフ性と共形不変性によって一意に特徴づけられることを示す。
• アニュラス上のマルコフ過程における定常測度の一意性を用いて、全平面 CLE$_\kappa$ が反転に関して不変でなければならないことを導出し、リーマン球面上の共形不変性の証明を完了する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全平面 CLE$_\kappa$（$\kappa \in (4,8)$）は反転写像 $z \mapsto 1/z$ に関して不変か？
• RQ2 内境界を囲むループの数を指定したアニュラス上での CLE$_\kappa$ を厳密に定義し、$\kappa \in (4,8)$ に対して共形不変であることを示せるか？
• RQ3 アニュラス上のマルコフ性が、$\kappa \in (4,8)$ の範囲で内境界ループ数が固定された CLE$_\kappa$ の法則を一意に特徴づけるか？
• RQ4 ディスクおよびアニュラス設定からの結果を拡張することで、リーマン球面上の CLE$_\kappa$ が $\kappa \in (4,8)$ に対して共形不変であることを確立できるか？

主な発見

• 本稿では、$\kappa \in (4,8)$ の全平面 CLE$_\kappa$ が反転写像 $z \mapsto 1/z$ に関して不変であることを証明し、リーマン球面上の共形不変性を確立した。
• アニュラス上に、内境界を囲むループの数を任意に固定した CLE$_\kappa$ を厳密に定義し、$\kappa \in (4,8)$ に対して共形不変であることを示した。これは理論における重要な空白を埋めた。
• 内境界を囲むループ数が固定されたアニュラス上での CLE$_\kappa$ に対して、アニュラス上のマルコフ性が成立し、補集合成分における CLE の条件付き法が依然として CLE$_\kappa$ であることを意味する。
• アニュラス上のマルコフ過程における定常測度が、指定された内境界ループ数をもつ CLE$_\kappa$ の法則であることが示され、構成の一意性が保証された。
• SLE と CLE の絶対連続性および到達確率の補題を用いたカップリング議論により、重複する領域における CLE の局所的構成が正の確率で一致することを確認し、反転不変性の証明を可能にした。
• 既存の $\kappa \in (8/3,4]$ の結果と併せることで、本研究は、すべての $\kappa \in (8/3,8)$ に対して CLE$_\kappa$ がリーマン球面上で共形不変であることを完全に証明した。