[論文レビュー] Conformal Killing spinors and special geometric structures in Lorentzian geometry - a survey

Helga Baum|ArXiv.org|Feb 1, 2002

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 35被引用数 21

ひとこと要約

このサーベイは、共形 Killing スピン場（twistor スピン場）を許容するローレンツ多様体を調査し、次元6まででその完全な局所分類を特定する。twistor スピン場が光的 Killing ベクトル場を生成する場合、リッチ曲率が正のときにはフェッファーマン空間に、リッチ曲率が0のときには平行スピン場をもつブリンクマン空間に対応する。これは、ローレンツ型における特殊な幾何構造と共形スピン幾何の間の深い関係を明らかにする。

ABSTRACT

This paper is a survey on special geometric structures that admit conformal Killing spinors based on lectures, given at the ``Workshop on Special Geometric Structures in String Theory'', Bonn, September 2001 and at ESI, Wien, November 2001. We discuss the case of Lorentzian signature and explain which geometries occur up to dimension 6.

研究の動機と目的

• 次元6までで、非ゼロの twistor スピン場を許容するローレンツスピン多様体を体系的に分類すること。
• twistor スピン場が光的 Killing ベクトル場を生成する際の幾何的役割を明確にすること。
• このようなスピン場とフェッファーマン空間やアインシュタイン・ササキ多様体といった標準的幾何構造との対応関係を確立すること。
• 超重力理論や弦理論への応用を動機として、特別な twistor スピン場をもつローレンツ多様体のグローバルおよび局所的幾何的特徴付けを提供すること。
• リーマン幾何に比べてまだ発展が遅れているローレンツ型における共形不変性および twistor 演算子の理解を拡張すること。

提案手法

• twistor スピン場を定義する twistor 演算子 $ P\varphi = \sum_{i=1}^n \sigma^i \otimes \left( \nabla_{s_i}^S \varphi + \frac{1}{n} s_i \cdot D\varphi \right) $ を用い、$ P\varphi = 0 $ の解として twistor スピン場を定義する。
• 共形共変性の性質を適用：$ \tilde{g} = e^{2\sigma}g $ の下で、$ D_{\tilde{g}} = e^{-(n+1)/2 \sigma} D_g e^{(n-1)/2 \sigma} $ および $ P_{\tilde{g}} = e^{-\sigma/2} P_g e^{-\sigma/2} $ が成り立ち、共形分類が可能になる。
• twistor スピン場 $ \varphi $ から誘導されるベクトル場 $ V_\varphi = \sum_i \sigma^i \cdot \varphi $ を分析し、これは共形的かつ因果的である。
• $ V_\varphi $ が光的かつ Killing である場合に、$ V_\varphi $ のリッチ曲率に基づいて分類を実行する。
• フェッファーマン空間を、厳密に擬強凸CR多様体上の $ S^1 $ バンドルとして、$ h_\theta = \pi^*L_\theta - i \frac{8}{m+2} \pi^*\theta \circ A_\theta $ という計量で構成し、2つの線形独立な twistor スピン場が存在し、$ \nabla_{V_\varphi}\varphi = i c \varphi $ を満たすことを示す。
• 局所正規形と曲率解析を用いて、$ n \leq 6 $ のすべての可能な幾何構造を分類し、Lewandowski (1991)、Lei (2001)、BärとLeistner (2002) の結果を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元6までで、非ゼロの twistor スピン場を許容するローレンツ幾何はどれか？
• RQ2 twistor スピン場が光的 Killing ベクトル場を生成する場合、どのような幾何構造が生じるか？
• RQ3 誘導されたベクトル場 $ V_\varphi $ の曲率的性質が、局所幾何をどのように決定するか？
• RQ4 フェッファーマン空間と、$ \nabla_{V_\varphi}\varphi = i c \varphi $ および $ V_\varphi \cdot \varphi = 0 $ を満たす twistor スピン場との正確な関係は何か？
• RQ5 すべての twistor スピン場をもつローレンツ多様体は、局所的に既知の幾何モデルに共形同倣可能か？

主な発見

• 次元 $ n=3 $ では、非ゼロの twistor スピン場をもつ任意のローレンツ多様体は、局所的に pp-多様体に共形同倣可能である。
• 次元 $ n=4 $ では、このような多様体は、pp-多様体またはフェッファーマン空間に局所的に共形同倣可能である。
• 次元 $ n=5 $ では、可能な幾何は pp-多様体、ローレンツ型アインシュタイン・ササキ多様体、または $ (N^4, h) $ がリッチ平坦なカーラー多様体である $ \mathbb{R} \times (N^4, h) $ の積である。
• 次元 $ n=6 $ では、幾何は pp-多様体、フェッファーマン空間、$ (N^4, h) $ がリッチ平坦なカーラー多様体である $ \mathbb{R}^{1,1} \times (N^4, h) $ の積、および特別なカーラー旗構造をもつブリンクマン空間を含む。
• twistor スピン場が光的 Killing フィールド $ V_\varphi $ を誘導する場合、$ \mathrm{Ric}(V_\varphi, V_\varphi) $ は定数であり非負であり、正であるのは局所的にフェッファーマン空間に等長であるとき、0であるのは局所的に平行スピン場をもつブリンクマン空間に共形同倣可能であるときである。
• フェッファーマン空間は、2つの線形独立な twistor スピン場をもち、$ V_\varphi \cdot \varphi = 0 $、$ \nabla_{V_\varphi}\varphi = i c \varphi $、$ V_\varphi $ が光的かつ Killing であるという条件を満たす、唯一の偶数次元ローレンツ多様体として特徴づけられる。