[論文レビュー] Conformal loop ensembles and the stress-energy tensor. I. Fundamental notions of CLE

Benjamin Doyon|ArXiv.org|Mar 2, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 33被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、コンformal loop ensemble (CLE)における基礎的概念を提示し、共形場理論 (CFT) におけるストレステンソルの構成に不可欠な連続性および台の性質を確立する。リーマン球面および二重に連結な領域における確率関数を定義し、CLEの公理と基本的な測度論的性質のみを用いて、共形不変性および非自明な不変性定理を証明することで、確率的ループ集合からのきめの細かい量子場理論の構成の基盤を築く。

ABSTRACT

This is the first part of a work aimed at constructing the stress-energy tensor of conformal field theory as a local "object" in conformal loop ensembles (CLE). This work lies in the wider context of re-constructing quantum field theory from mathematically well-defined ensembles of random objects. The goal of the present paper is two-fold. First, we provide an introduction to CLE, a mathematical theory for random loops in simply connected domains with properties of conformal invariance, developed recently by Sheffield and Werner. It is expected to be related to CFT models with central charges between 0 and 1 (including all minimal models). Second, we further develop the theory by deriving results that will be crucial for the construction of the stress-energy tensor. We introduce the notions of support and continuity of CLE events, about which we prove basic but important theorems. We then propose natural definitions of CLE probability functions on the Riemann sphere and on doubly connected domains. Under some natural assumptions, we prove conformal invariance and other non-trivial theorems related to these constructions. We only use the defining properties of CLE as well as some basic results about the CLE measure. Although this paper is guided by the construction of the stress-energy tensor, we believe that the theorems proved and techniques used are of interest in the wider context of CLE. The actual construction will be presented in the second part of this work.

研究の動機と目的

• 共形場理論 (CFT) におけるストレステンソルの構成のための数学的に厳密なフレームワークを、共形ループ集合 (CLE) として開発すること。
• CLE形式主義内でのリーマン球面および二重に連結な領域における確率関数の定義と分析を行うこと。
• 後に局所的量子場理論的演算子を構成するために不可欠な、CLE事象の連続性および台の性質を確立すること。
• CLEの公理的構造と基本的な測度論的結果のみを用いて、自然な仮定の下で共形不変性および他の非自明な不変性定理を証明すること。
• ストレステンソルの構成という最終目的を超えて、独立した興味を持つ自己完結的で公理的なCLEの展開を提供すること。

提案手法

• 単連結領域から単位円板への共形写像が誘導する位相を用いて、CLE事象の台と連続性の概念を導入する。
• ループまたは集合の広がりを、固定された単位円板への共形写像による像の直径として定義することで、ループのサイズおよび分離度の定量的制御を可能にする。
• CLE構成をこれらの領域に制限し、構成の列による極限頻度を用いることで、リーマン球面および二重に連結な領域における確率関数を提案する。
• 再確率化手順を適用し、CLEの公理的測度論的構造を用いて、外部モデルに依存せずに共形不変性定理を導出する。
• 一般化されたスケール変換 $\lambda_{z_1,z_2}$ を用いて、異なる領域におけるスケーリング挙動および共形共変性を分析する。
• 特徴関数 $\rho(x, \mathcal{X})$ および極限頻度測度 $P_{\mathcal{M}}(\mathcal{X})$ を用いて、CLE構成空間における事象の確率を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共形場理論のストレステンソルを、共形ループ集合 (CLE) 内の局所的対象として、数学的に厳密にどのように構成できるか。
• RQ2 CLEのリーマン球面および二重に連結な領域における確率関数の適切な数学的定義は何か。
• RQ3 共形変換の下で、CLE事象の連続性および台の性質が保証される条件は何か。
• RQ4 CLE測度の公理と基本的な測度論的道具のみを用いて、CLE確率関数の共形不変性をどのように証明できるか。
• RQ5 異なるリーマン面における非自明な不変性定理を導くために必要な最小限の仮定は何か。

主な発見

• 本稿は、CLE事象が連続性および台の明確な概念を備えていることを確立し、ストレステンソルのような局所的観測量を定義するために不可欠であることを示している。
• リーマン球面におけるCLEの確率関数が、基本的な公理を満たす測度の下で、グローバルな共形変換に関して共形不変であることを証明している。
• 二重に連結な領域では、適切な正規化および構成の制限の下で、CLE確率関数の共形不変性が導かれる。
• ループの広がりは、単位円板への共形写像を介して定義され、異なる領域において一貫性があり不変なループサイズの測度として機能する。
• 極限頻度の構成 $P_{\mathcal{M}}(\mathcal{X}) = \lim_{N\to\infty} N^{-1} \sum_{j=1}^N \rho(x_j, \mathcal{X})$ は、微視的モデルの明示的知識がなくても、CLE構成におけるwell-definedな確率測度をもたらす。
• CLE構成を部分領域 $C$ に制限したもの $I_C(x)$ は、公理的構造を保ち、$C$ 上での有効なCLE構成を形成し、局所的解析を可能にする。