[論文レビュー] Conformal mapping for multivariate Cauchy families

Shogo Kato, Peter McCullagh|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2015

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ユークリッド空間および球面上の多次元コーシー分布を調査し、M"obius conformal 写像の下での不変性を示し、立体射影を介して関係を確立する。標本サイズ ≤3 に対して閉形式の最尤推定量を導出し、実 M"obius 群の下での主要な閉包性を同定する。

ABSTRACT

We discuss some statistical properties of the multivariate Cauchy families on the Euclidean space and on the sphere. It is seen that the two multivariate Cauchy families are closed under conformal mapping called the M\obius transformation and that, for each Cauchy family, there is a similar induced transformation on the parameter space. Some properties of a marginal distribution of the spherical Cauchy such as certain moments and a closure property associated with the real M\obius group are obtained. It is shown that the two multivariate Cauchy families are connected via stereographic projection. Maximum likelihood estimation for the two Cauchy families is considered; closed-form expressions for the maximum likelihood estimators are available when the sample size is not greater than three, and the unimodality holds for the maximized likelihood functions. A Kent-type extension of the spherical Cauchy arising from an extended M\obius subgroup is briefly considered.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間および単位球面上の多次元コーシー族の統計的性質を研究すること。
• これらの族が M"obius 変換の下で不変であるか、およびそれらが引き起こすパラメータ変換を検討すること。
• 立体射影を用いて二つのコーシー族の間の関係を確立すること。
• 標本サイズ (n ≤ 3) に対して閉形式の最尤推定量を導出すること。
• 実 M"obius 群の下での周辺分布の閉包性を調査し、Kent 型の拡張を提案すること。

提案手法

• M"obius 変換を共形写像として用い、R^d および S^d 上の多次元コーシー族の不変性を分析する。
• 立体射影を用いて、R^d および S^d 上のコーシー分布の間の一対一対応を確立する。
• 両族における M"obius 写像の下でのパラメータ空間への誘導変換を導出する。
• 特性関数およびモーメント生成関数の技術を用いて、周辺分布およびそのモーメントを分析する。
• 標本サイズが3以下である場合の閉形式の最尤推定量を構成する。
• 拡張された M"obius 部分群を用いて、球面上のコーシー族の Kent 型拡張を提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユークリッド空間および球面上の多次元コーシー族は、M"obius 共形写像の下でどのように変化するか？
• RQ2 誘導された M"obius 変換の下で、二つのコーシー族のパラメータ空間の関係は何か？
• RQ3 球面上のコーシー族の周辺分布は、実 M"obius 群の下でどのような閉包性を示すか？
• RQ4 多次元コーシー族の最尤推定量が閉形式で表現可能な条件は何か？
• RQ5 拡張された M"obius 部分群を用いて、球面上のコーシー族の Kent 型拡張を構成できるか？

主な発見

• R^d および S^d 上の多次元コーシー族は、M"obius 変換の下で不変であり、統計的構造を保つ。
• 立体射影を介して、二つの族の間の一対一対応が確立される。
• 標本サイズが3以下である場合、閉形式の最尤推定量が存在する。
• 最大化された尤度関数は単峰性を示し、小標本における信頼性の高い推論を支持する。
• 球面上のコーシー族の周辺分布は、実 M"obius 群の下で閉包性を示す。
• 拡張された M"obius 部分群を用いて、球面上のコーシー族の Kent 型拡張が提案され、その対称性が一般化される。