[論文レビュー] Conformal metrics on $\R^{2m}$ with constant Q-curvature

Luca Martinazzi|ArXiv.org|May 6, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$\r^{2m}$ 上の定数負 $Q$-曲率と有限体積をもつ共形計量が存在するための必要十分条件を $m > 1$ と特定し、解の漸近的分解を対数的ポテンシャルと多項式に明確に与える。$Q = 0$ の場合、解は偶数次で $2$ から $2m-2$ の間の有界多項式として完全に分類され、無限遠における衰減および曲率の挙動が同定され、高次の共形幾何学における長年の存在および漸近的問題が解決される。

ABSTRACT

We study the conformal metrics on $\R^{2m}$ with constant Q-curvature $Q$ having finite volume, particularly in the case $Q\leq 0$. We show that when $Q<0$ such metrics exist in $\R^{2m}$ if and only if $m>1$. Moreover we study their asymptotic behavior at infinity, in analogy with the case $Q>0$, which we treated in a recent paper. When Q=0, we show that such metrics have the form $e^{2p}g_{\R^{2m}}$, where $p$ is a polynomial such that $2\leq °p\leq 2m-2$ and $\sup_{\R^{2m}}p

研究の動機と目的

• 共形計量 $\r^{2m}$ 上で定数 $Q$-曲率 $Q<0$ かつ有限体積をもつものの存在問題を解決すること。
• 有限体積をもつ $Q=0$ の $Q$-曲率方程式のすべての解を分類すること。
• $Q<0$ の解の無限遠における漸近的挙動を同定すること、衰減率および曲率の発散を含む。
• 特に濃縮・コンパクトネスおよび幾何的解析の文脈において、高次の曲率問題における共形計量の理解を拡張すること。

提案手法

• 共形計量の定数 $Q$-曲率をモデル化するため、$\r^{2m}$ 上で $m$ 階ラプラシアン方程式 $(-\Delta)^m u = Q e^{2mu}$ を用いる。
• 基本解 $\frac{1}{\gamma_m} \log \frac{1}{|x|}$ との畳み込みにより対数的ポテンシャル $v(x)$ を構成し、解を $u = v + p$ に分解する。
• 楕円的正則性およびポテンシャル論を用いて、$v$ の漸近的衰減および $p$ の多項式的挙動を解析する。
• 補助関数 $v(x)$ を用いて、$|x| \to \infty$ のとき $v(x) = 2\alpha \log|x| + o(\log|x|)$ を導出する。これにより漸近的構造が裏付けられる。
• $Q<0$ のとき、$p$ は $2 \leq \deg p \leq 2m-2$ を満たす非定数の偶数次多項式で $\sup p < \infty$ であるという分解 $u = v + p$ を証明する。また、次元 4 の場合、$\lim_{|x|\to\infty} p(x) = -\infty$ である。
• ポホジャエフ型恒等式および衰減推定を用いて、$|x| \to \infty$ のときスカラー曲率 $R_{g_u} \to -\infty$ であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $m > 1$ のとき、$\r^{2m}$ 上に定数負 $Q$-曲率と有限体積をもつ共形計量が存在するか？
• RQ2 空間無限遠における $Q<0$ の $Q$-曲率方程式の解の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ3 $Q=0$ かつ有限体積をもつすべての解が、有界次数および衰減をもつ多項式として完全に分類可能か？
• RQ4 $Q<0$ のとき、分解 $u = v + p$ は有効か？また、$v$ および $p$ の正確な成長・衰減特性は何か？
• RQ5 $m > 2$ のとき、漸近展開における集合 $Z \subset S^{2m-1}$ を取り除ける（すなわち $Z = \emptyset$ にできる）か？

主な発見

• 定数 $Q<0$ のとき、$\r^{2m}$ 上の有限体積をもつ共形計量が存在するのは $m > 1$ のときに限る。これは重要な存在問題を解決する。
• 解は $Q<0$ のとき $u = v + p$ に分解され、$|x| \to \infty$ のとき $v(x) = 2\alpha \log|x| + o(\log|x|)$ であり、$p$ は $2 \leq \deg p \leq 2m-2$ を満たす非定数の偶数次多項式である。
• $m=2$ のとき、$\sup_{\r^4} u < \infty$ かつ $Z = \emptyset$ であり、すべての方向で一様な漸近的衰減が成立する。
• 計量 $g_u = e^{2u}g_{\r^{2m}}$ のスカラー曲率 $R_{g_u}$ は $\liminf_{|x|\to\infty} R_{g_u}(x) = -\infty$ を満たし、無限遠で強い曲率発散を示す。
• $Q=0$ のとき、すべての解は偶数次で $2$ から $2m-2$ の間の有界多項式 $p$ であり、次元 4 の場合、正確に次数 2 の多項式で $\lim_{|x|\to\infty} p(x) = -\infty$ である。
• $\lim_{|x|\to\infty} \Delta^j p(x) = a$ における定数 $a$ は $Q=0$ のとき $a < 0$ を満たし、$Q<0$ のとき $a \neq 0$ である。これは非自明な多項式的構造を反映している。