[論文レビュー] Conformal nets and local field theory

Arthur Bartels, Christopher L. Douglas+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、 conformal nets、欠損、セクター、および相互作用写像に対して対称的モノイダル三圏構造を確立し、有限な conformal nets（特に有限 μ-インデックスをもつ非可約ネットの有限直和）が双対的であることを証明する。この分類により、ループ群やムーンシャインネットに関連する 3 次元局所トポロジカル量子場理論の広いクラスが得られ、フレーム付きおよび安定フレーム付き場理論を通じて、結び目および 3 次元多様体の不変量への応用が可能になる。

ABSTRACT

We describe a coordinate-free notion of conformal nets as a mathematical model of conformal field theory. We define defects between conformal nets and introduce composition of defects, thereby providing a notion of morphism between conformal field theories. Altogether we characterize the algebraic structure of the collection of conformal nets as a symmetric monoidal tricategory. Dualizable objects of this tricategory correspond to conformal-net-valued 3-dimensional local topological quantum field theories. We prove that the dualizable conformal nets are the finite sums of irreducible nets with finite μ-index. This classification provides a variety of 3-dimensional local field theories, including local field theories associated to central extensions of the loop groups of the special unitary groups.

研究の動機と目的

• Conformal field theory の数学的モデルとして、座標に依存しない非チャーラルな枠組みを確立すること。
• Conformal nets 間の欠損およびその合成則を定義し、CFT 間の三圏的構造を可能にする。
• 双対的 conformal nets を分類し、それらが 3 次元局所トポロジカル量子場理論に対応することを示すこと。
• これらの場理論がフレーム付きから安定フレーム付き構造へと上昇できることを示し、ストリング構造および p1 構造と関連づけること。
• Conformal nets とテンソル圏、特に有限 nets の表現圏を通じての関係を探索すること。

提案手法

• 代数的量子場理論における局所的観測可能量の代数として、座標に依存しない conformal nets の概念を導入する。
• Conformal nets 間の欠損およびその統合を定義し、conformal nets の三圏的構造を形成する。
• 対象が conformal nets、1-射が欠損、2-射がセクター、3-射が相互作用写像である対称的モノイダル三圏 CN を構成する。
• Hopkins-Lurie の定理を適用し、CN 内の双対的対象が完全局所的 3 次元 TQFT を生成することを同定する。
• 双対的 conformal nets が、有限 μ-インデックスをもつ非可約ネットの有限直和であることを証明する。
• CN に値をとるフレーム付き局所場理論が、ストリング構造と整合する安定フレーム付き理論へ上昇できることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Conformal field theories の集合、ならびにそれらの間の射、高次射を含めた正しい代数的構造は何か？
• RQ2 どの conformal nets が双対的であり、それは 3 次元局所トポロジカル量子場理論の存在にどのような意味を持つのか？
• RQ3 conformal-net 値の局所場理論は、既存の 3D TQFT の定式化、特にループ群を含むものとどのように関係するか？
• RQ4 有限 conformal net の表現圏が双対的テンソル圏であることを示せるか？
• RQ5 これらの場理論が 3 次元多様体に埋め込まれたリンクや曲面に対して割り当てる不変量は何か？そして既知の不変量とどのように関係するか？

主な発見

• Conformal nets、欠損、セクター、および相互作用写像は、Conformal field theories の完全な代数的構造を提供する対称的モノイダル三圏をなす。
• Conformal net が双対的であることは、有限 μ-インデックスをもつ非可約ネットの有限直和であることに同値であり、ここで μ-インデックスは表現圏の次元である。
• すべての有限 conformal net は、点的データによって決定される 3 次元局所トポロジカル量子場理論を生じる。
• すべての CN に値をとるフレーム付き局所場理論は、安定フレーム付き理論へ上昇でき、これは 3 次元におけるストリング構造理論と同値である。
• 任意の有限 conformal net の表現圏は、双対的 braided monoidal category である。これは、CN からテンソル圏の三圏への三関手の存在を示唆する。
• ループ群ネット $\mathcal{N}_{G,k}$ に対して、関連する 3 次元多様体の不変量は $F_{\operatorname{Rep}(LG,k)}(M) = |F_{\mathcal{N}_{G,k}}(M)|^2$ を満たし、net 値の不変量とテンソル圏値の不変量を結びつける。