[論文レビュー] Conformal positive mass theorems

Walter Simon|ArXiv.org|Mar 29, 2000

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、共形スケーリング下での漸近的に平坦な3次元多様体に対して、2つの共形正の質量定理を確立する。マイナス記号の場合、リッチスカラーが $ R - \phi^4 R' \geq 0 $ を満たす限り、質量差は非負であり、等号成立は計量が等長である場合に限る。プラス記号の場合、$ R + \phi^4 R' \geq 0 $ の下で $ m + m' \geq 0 $ が成り立ち、等号成立は両多様体が平坦なユークリッド空間である場合に限る。証明は、マースード＝ウル＝アラムの剛性議論を新規に応用することで、ウィッテンのスピンorial手法を正のケースに拡張する。

ABSTRACT

We show the following two extensions of the standard positive mass theorem (one for either sign): Let (N,g) and (N,g') be asymptotically flat Riemannian 3-manifolds with compact interior and finite mass, such that g and g' are twice Hoelder differentiable and related via the conformal rescaling g' = (phi^4).g, with a twice Hoelder differentiable function phi>0. Assume further that the corresponding Ricci scalars satisfy either R + (phi^4).R' >= 0 or R - (phi^4).R' >= 0. Then the corresponding masses satisfy m + m' >= 0 or m - m' >= 0, respectively. Moreover, in the case of the minus signs, equality holds iff g and g' are isometric, whereas for the plus signs equality holds iff both (N,g) and (N,g') are flat Euclidean spaces. While the proof of the case with the minus signs is rather obvious, the case with the plus signs requires a subtle extension of Witten's proof of the standard positive mass theorem. The idea for this extension is due to Masood-ul-Alam who, in the course of an application, proved the rigidity part m + m' = 0 of this theorem, for a special conformal factor. We observe that Masood-ul-Alam's method extends to the general situation.

研究の動機と目的

• 特定の曲率条件の下で、共形的に関連する漸近的に平坦なリーマン多様体の3次元多様体に対する正の質量定理を拡張すること。
• 曲率不等式 $ R \pm \phi^4 R' \geq 0 $ の下で、共形スケーリングにおける質量の上限を確立すること。
• 正の質量定理のウィッテンのスピンorial証明を、$ + $ 記号を含む共形ケースに厳密に拡張すること。
• 等号成立の剛性結果を証明する：$ + $ 記号の場合、両多様体が平坦である場合に限り等号が成立する。$ - $ 記号の場合、両計量が等長である場合に限り等号が成立する。
• 一般相対性理論における一意性定理、特に非退化ホライズンと非自明な物質場を有するブラックホールに対して支援を提供すること。

提案手法

• スピンorバンドル上のディラック作用素を用いて、ウィッテンの正の質量定理のスピンorial証明を共形スケーリングに適応する。
• 曲率とスピンオーラスプレイスの関係を表すリヒネロヴィッツの恒等式 $ \mathcal{D}^2 \Psi = \nabla^*\nabla \Psi + \frac{1}{4} R \Psi $ を適用する。
• 質量不等式を導出するための恒等式 $ \nabla_i[\nabla^i|\Psi|^2 - 2\phi^{-1}(\nabla_i\phi)|\Psi|^2] = \frac{1}{4}(R + \phi^4 R')|\Psi|^2 + 2|\nabla_i\Psi - \phi^{-1}(\nabla_i\phi)\Psi|^2 $ を用いる。
• 重み付きホーラー空間 $ C^{2,\alpha}_{-\tau} $ を導入し、フレドホルム理論を用いてディラック作用素の同型性を確立する。
• ガウスの法則を適用し、大規模な球面上でスピンオーラス電流を積分することでADM質量を抽出する。
• スピンオーラスノルムに対する強い最大原理を用いて、曲率条件の下でゼロモードの自明性を示し、剛性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共形的に関連する3次元多様体のリッチスカラーにどのような条件下で、それらのADM質量の和または差が非負のままであるか。
• RQ2 ウィッテンの正の質量定理のスピンorial証明を、曲率不等式にプラス記号を含む共形ケースに拡張できるか。
• RQ3 プラス記号を含む共形正の質量定理における等号成立の剛性条件は何か。これは多様体の幾何にどのような意味を持つのか。
• RQ4 共形正の質量定理を、Einstein-Maxwell-dilaton理論におけるブラックホール解の一意性を証明するためにどのように応用できるか。
• RQ5 結果を、ADM4運動量と初期データの共形スケーリングを含む時空形式に一般化できるか。

主な発見

• マイナス記号の場合、$ R - \phi^4 R' \geq 0 $ ならば $ m - m' \geq 0 $ が成り立ち、等号成立は $ g $ と $ g' $ が等長である場合に限る。
• プラス記号の場合、$ R + \phi^4 R' \geq 0 $ ならば $ m + m' \geq 0 $ が成り立ち、等号成立は $ (\mathcal{N},g) $ と $ (\mathcal{N},g') $ がともに平坦なユークリッド空間である場合に限る。
• プラス記号の場合の証明は、スピンオーラス技術とリヒネロヴィッツの恒等式を用いたウィッテンの方法の新規な拡張に依存する。
• プラス記号の剛性ケースは、$ m + m' = 0 $ ならば $ \nabla(\phi^{-1}\Psi) = 0 $、$ R = 0 $、$ R' = 0 $ が成り立つことを示すことにより証明され、平坦性に至る。
• この結果は、Einstein-Maxwell-dilaton重力理論のような非自明な物質場を有する理論におけるブラックホール解の一意性を証明するための技術的ツールを提供する。
• この方法により、真空および静電的状況に限らない一意性結果の拡張が可能であることが確認された。