[論文レビュー] Conformal Structures and Necksizes of Embedded Constant Mean Curvature Surfaces

Robert Kusner|ArXiv.org|Jul 19, 2002

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、各適切に埋め込まれた一定平均曲率（CMC）超曲面にその共形構造と漸近的ネックサイズを割り当てる放物的分類写像 Φ が、CMC超曲面のモジュライ空間から穴あきリーマン面における放物的構造の空間への、正則的かつ実解析的写像であることが確立されている。主な結果は、Genus 0 の場合に Φ が明確に定義された（mod 2）次数を持ち、それが消えることである。これは、各共形型とネックサイズ構成が偶数個の CMC超曲面によって実現されることを意味し、三重アンデュロイド（triunduloids）の場合の位相的障害を確認するものである。

ABSTRACT

Let M = M_{g,k} denote the space of properly (Alexandrov) embedded constant mean curvature (CMC) surfaces of genus g with k (labeled) ends, modulo rigid motions, endowed with the real analytic structure described in [kmp]. Let $P = P_{g,k} = r_{g,k} imes R_+^k$ be the space of parabolic structures over Riemann surfaces of genus g with k (marked) punctures, the real analytic structure coming from the 3g-3+k local complex analytic coordinates on the Riemann moduli space r_{g,k}. Then the parabolic classifying map, Phi: M --> P, which assigns to a CMC surface its induced conformal structure and asymptotic necksizes, is a proper, real analytic map. It follows that Phi is closed and in particular has closed image. For genus g=0, this can be used to show that every conformal type of multiply punctured Riemann sphere occurs as a CMC surface, and -- under a nondegeneracy hypothesis -- that Phi has a well defined (mod 2) degree. This degree vanishes, so generically an even number of CMC surfaces realize any given conformal structure and asymptotic necksizes.

研究の動機と目的

• 有限な genus と末端を持つ適切に埋め込まれた一定平均曲率（CMC）超曲面のモジュライ空間のグローバル構造を理解すること。
• CMC超曲面のモジュライ空間から穴あきリーマン面における放物的構造の空間への実解析的分類写像 Φ を確立すること。
• 共形型とネックサイズの実現に関する位相的および幾何的制約、特に genus 0 の場合を特定すること。
• 分類写像 Φ の次数を調査し、与えられた共形およびネックサイズデータを実現する CMC超曲面の多重度に与える影響を解明すること。

提案手法

• 剛体運動による同値類を除いた、genus g で k 個のラベル付き末端を持つ適切に埋め込まれた CMC超曲面のモジュライ空間 M = Mg,k を定義する。
• genus g のリーマン面に k 個のマークされた穴をもつ放物的構造の空間 P = Pg,k = Rg,k × Rk+ を導入し、モジュライ空間 Rg,k における 3g−3+k 個の局所座標から実解析的構造を備える。
• 各 CMC超曲面にその誘導された共形構造と漸近的ネックサイズを割り当てる放物的分類写像 Φ: M → P を構成する。
• 超越的技法と先行研究のコンパクトネス結果を用いて、Φ が正則的かつ実解析的写像であることを証明し、したがって閉写像であり、像も閉じていることを示す。
• g = 0 の場合を解析するにあたり、穴あき球面の共形型が一意的であることに着目し、非退化性仮定を適用して Φ の（mod 2）次数を定義する。
• （mod 2）次数の消えることから、各共形型とネックサイズ構成が偶数個の CMC超曲面によって実現されることを導き出し、三重アンデュロイドの場合の結果を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 放物的構造の空間における分類写像 Φ の像は何か？ また、許容可能なネックサイズは、その背後にある共形型にどのように依存するか？
• RQ2 与えられた共形型 [Σ] に対して、Φ−1([Σ]) は有限か？ また、2|χ(Σ)| はその濃度の上界となるか？
• RQ3 CMC超曲面のモジュライ空間 M は連結か？ また、Φ によって誘導される基本群の準同型は、M の位相とどのように関係するか？
• RQ4 M に非正曲率の完全な計量が存在し、K(π,1) 空間となるか？ もしそうなら、CMC幾何学からその構成が可能か？
• RQ5 一般の障害理論を用いて、R³ 内の自己交差を伴う埋め込み超曲面がアレクサンドロフの意味で自己交差を伴わない埋め込みであるかどうかを検出できるか？

主な発見

• 放物的分類写像 Φ: M → P は正則的かつ実解析的写像であり、像が閉じていることが保証される。
• Genus g = 0 の場合、任意の多重穴あきリーマン球面の共形型が CMC超曲面として実現可能であり、k ≥ 3 のすべての k に対してそのような超曲面の存在が確認される。
• 非退化性仮定の下で、写像 Φ は明確に定義された（mod 2）次数を持ち、genus 0 の超曲面ではそれが消える。
• （mod 2）次数の消えることから、各共形構造とネックサイズ構成が偶数個の CMC超曲面によって実現されることを示し、三重アンデュロイド（k = 3）の二対一の結果を一般化する。
• g = 0 かつ k = 3 の場合、Φ の像は、ネックサイズにおける球面三角不等式によって定義される単体である。これは [8] で先行して確立されている。
• Φ−1([Σ]) の濃度は 2|χ(Σ)| = 2k−2 で上から抑えられ、k = 3 の場合、最大ネックサイズの折りたたみ点を除き Φ は二対一であるため、この上限は達成可能である。