[論文レビュー] Conformal Superspace: the configuration space of general relativity

Julian Barbour, Niall Ó Murchadha|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2010

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 3被引用数 35

ひとこと要約

この論文は、初期データとして共形3次元幾何とその横断的トレースレス外微分曲率が与えられたとき、アインシュタイン方程式がこの空間に一意的な曲線を生成することを示すことにより、共形超空間を正準一般相対性理論の基本的配置空間として確立する。主な結果は、一般相対性理論の力学が形状のみによって完全に決定され、局所的スケールがゲージとして現れることであり、これは形状力学が重力の最小的で観測的に整合性のある定式化であることを支持する。

ABSTRACT

It has long been considered that conformal superspace is the natural configuration space for canonical general relativity. However, this was never definitively demonstrated. We have found that the standard conformal method of solving the Einstein constraints has an unexpected extra symmetry. This allows us to complete the project. We show that given a point and a velocity in conformal superspace, the Einstein equations generate a unique curve in conformal superspace.

研究の動機と目的

• 正準一般相対性理論における共形超空間を、理論の長年の曖昧さを解消する形で厳密に配置空間として確立すること。
• 一般相対性理論における余剰自由度の問題を解消し、共形超空間を物理的形状の空間と特定し、局所的スケールをゲージとして同定すること。
• 共形3次元幾何とその横断的トレースレス外微分曲率からなる初期データが、共形超空間内での系の進化を一意に決定することを示すこと。
• 標準的な共形法によるアインシュタイン制約の解法が、共形超空間内での完全な定式化を可能にする、予期しない追加の対称性を有することを示すこと。
• 形状力学が、形状のみが力学的でありスケールがゲージであるという最小的で物理的に整合性のある一般相対性理論の再定式化として、概念的基盤を支持すること。

提案手法

• 著者たちは、アインシュタイン制約を解くために共形法を用い、標準的な共形アプローチに隠れた対称性を同定し、共形超空間への一貫した還元を可能にする。
• 共形超空間は、3次元微分同相変換による商をとった超空間（3次元幾何の空間）を3次元の共形変換で割ったものとして定義され、曲率変換の便宜上、共形因子を4乗する。
• 初期データは共形同値類 $(\xi^4 g_{ij}, \xi^{-2} K^{TT}_{ij})$ として指定され、$K^{TT}_{ij}$ は外微分曲率の横断的トレースレス成分であり、形状と形状速度のみが物理的であることを保証する。
• 時間発展は一定平均曲率（CMC）ゲージで行われ、ラプス関数 $N$ は楕円方程式 $\nabla^2 N - K^{ij}K_{ij}N = -1$ を解いて決定され、一意的かつ正のラプスが保証され、明確なフォリエーションが得られる。
• 時間発展は3+1形式のアインシュタイン方程式 $\partial g_{ij}/\partial t = 2N K_{ij} + \nabla_i N_j + \nabla_j N_i$ に従い、シフトベクトルをゼロに設定し、各時間ステップでラプスを更新する。
• 理論は外微分曲率の符号反転に対して不変であり、これは未来と過去を入れ替えるものであり、配置空間の力学から根本的な時間の矢は生じないことを示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共形超空間は正準一般相対性理論の正しい配置空間であり、それが厳密に示せるか？
• RQ2 標準的な共形法によるアインシュタイン制約の解法は、共形超空間への完全な還元を可能にする追加の対称性を有するか？
• RQ3 共形3次元幾何とその横断的トレースレス外微分曲率からなる初期データから、一般相対性理論の力学が一意に生成可能か？
• RQ4 一般相対性理論に特徴的な時間フォリエーションの優位性がないことから、物理的であるべきは形状のみでスケールではないと結論づけられるか？
• RQ5 形状力学は、一般相対性理論の物理的解をすべて再現し、物理的でない解（閉じた時空的曲線など）を除外する最小的でゲージ不変な理論として定式化可能か？

主な発見

• 標準的な共形法によるアインシュタイン制約の解法は、共形因子および外微分曲率のスケーリングに対して予期しない追加の対称性を有しており、共形超空間への完全な還元を可能にする。
• 共形超空間内の点と速度（すなわち、共形3次元幾何とその横断的トレースレス外微分曲率）が与えられたとき、アインシュタイン方程式は初期平均曲率 $K$ の選択に依存しない一意的な曲線を共形超空間内に生成する。
• ラプス固定方程式 $\nabla^2 N - K^{ij}K_{ij}N = -1$ の解は存在し、一意的であり、$K$ が負のとき $N > 0$ となるため、明確なCMCフォリエーションが保証される。
• 共形超空間内での発展は初期の $K$ の選択に依存せず、$K$ の変更はメトリックおよび外微分曲率のスケーリングにのみ影響し、共形超空間内の経路には影響しない。
• 理論は根本的な時間の矢を持たず、$K$ の符号を反転させても物理的内容は変わらず、未来と過去が入れ替わるにとどまる。
• 共形超空間が配置空間として特定されることにより、形状力学が、形状のみが力学的でありスケールがゲージである最小的で観測的に整合性のある重力理論として支持され、量子重力や時間の問題に対する潜在的影響を有する。