[論文レビュー] Conformal theories including conformal gravity as gauge theories on the hypercone

Pär Arvidsson, Robert Marnelius|ArXiv.org|Dec 7, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 31被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、時空を d+2 次元の共形空間に拡張し、d+1 次元の超円筒上で共形群 SO(d,2) を線形に実現することにより、共形場理論（共形重力を含む）の明示的な共形不変形式を提案する。超円筒の外側においても特別なゲージ変換に対して不変である新しい作用原理を導入し、d 次元物理学への一貫した還元を保証する。主な貢献は、2次元高い共形重力の座標不変で幾何的な作用であり、長年のゲージ固定および場の運動方程式の問題を解決する。

ABSTRACT

Conformal theories in a d dimensional spacetime may be expressed as manifestly conformal theories in a d+2 dimensional conformal space as first proposed by Dirac. The reduction to d dimensions goes via the d+1 dimensional hypercone in the conformal space. Here we give a rather extensive expose of such theories. We review and extend the theory of spinning conformal particles. We give a precise and geometrical formulation of manifestly conformal fields for which we give a consistent action principle. The requirement of invariance under special gauge transformations off the hypercone plays a fundamental role here. Maxwell's theory and linear conformal gravity are derived in the conformal space and are treated in detail. Finally, we propose a consistent coordinate invariant action principle in the conformal space and give an action that should correspond to conformal gravity.

研究の動機と目的

• d+2 次元の共形空間における場理論の明示的な共形共変形式を構築すること、これはデイレーブの元来のアイデアを一般化する。
• 超円筒の外側における特別なゲージ変換に対する不変性を導入することで、従来の共形場の作用における不一致を解消すること。
• d+2 次元の共形重力に対して一貫性があり座標不変な作用原理を構築し、d 次元における線形共形重力に正しく還元されることを保証すること。
• 同次性とゲージ不変性を用いて、ランク ≥2 の対称テンソル場の場の運動方程式と制約を明確化すること。
• 任意スピンの粒子モデルを任意次元に拡張し、デイレーゲージ化を用いて対応する自由場の運動方程式を導出すること。

提案手法

• d+1 次元の超円筒上に座標を持つ d+2 次元の共形空間において、SO(d,2) が線形に作用する共形場理論を定式化する。
• 超円筒の外側で作用を不変にする特別なゲージ変換を導入し、超円筒をゲージ条件として選べることを可能にする。
• これらの特別なゲージ対称性および同次性条件に対する不変性を要求することで、共形場の正確な作用原理を構築する。
• d+2 次元における粒子モデルに対してデイレーゲージ制約量子化を適用し、振動子表現を用いて自由場の運動方程式を導出する。
• 変分原理を用いて作用から場の運動方程式を導出し、共形共変性および d=4 での既知の結果と一貫性を保証する。
• O(N)代数の振動子表現を用いて状態を分類し、自由場の正しい場の内容と対称性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d+2 次元において、d 次元への還元が一貫するように、共形重力に対する明示的な共形不変作用をどのように構築できるか？
• RQ2 超円筒の外側における特別なゲージ対称性が、場の運動方程式と作用の正しい還元をどのように保証するか？
• RQ3 同次性とゲージ不変性は、ランク ≥2 の対称テンソル場の正しい場の運動方程式の次数をどのように決定するか？
• RQ4 以前の手法における測度射影の問題を回避できる、一貫性のある作用原理を共形場に対してどのように定式化できるか？
• RQ5 d 次元における任意スピンの自由テンソル場の正確な構造は、量子化された共形粒子モデルからどのように導出できるか？

主な発見

• d+2 次元の共形空間において、超円筒の外側における特別なゲージ変換に対して不変である一貫性があり座標不変な共形重力の作用が構築された。
• この作用は、d 次元における標準的な線形共形重力に正しく還元され、既知の結果と一貫性を確認した。
• ランク ≥2 の対称テンソル場に対して、同次性とゲージ不変性の相互作用によって正しい場の運動方程式の次数が決定され、従来の不一致が解消された。
• 共形粒子モデルの量子化により、正しい対称性と制約を持つ自由テンソル場が得られ、d=4 におけるスピン-2 の場強度としてリーマンテンソルが得られた。
• d 次元における任意スピンの場の内容は、特定のインデックス構造を持つ完全対称テンソルまたは混合対称テンソルとして導出され、トレースレスかつ発散なしの条件を満たす。
• この形式は、明示的な作用と運動方程式を有する幾何的・ゲージ不変なフレームワークを提供し、単一の一貫した原理から導出された。