[論文レビュー] Conformally Kähler, Einstein--Maxwell metrics and boundedness of the modified Mabuchi-functional

Abdellah Lahdili|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、コンpactな偏極付き複素多様体上で、共形的ケーラー・アインシュタイン＝マクスウェル（cKEM）計量、あるいはより一般に定数$(\xi,a,p)$-スカラー曲率をもつケーラー計量が存在するならば、$(\xi,a,p)$-Mabuchi汎関数が最小化されることを確立する。証明は有限次元近似と一般化されたバランスド計量を用い、Donaldson、Li、Sano–Tiplerの手法を拡張し、その結果を、種数>2の幾何学的ルールド面におけるcKEM計量をもつケーラー類を完全に特徴付けるのにも応用する。

ABSTRACT

We prove that if a compact smooth polarized complex manifold admits in the corresponding Hodge Kähler class a conformally Kähler, Einstein--Maxwell metric, or more generally, a Kähler metric of constant $(ξ, a, p)$-scalar curvature, then this metric minimizes the $(ξ,a,p)$-Mabuchi functional. Our method of proof extends the approach introduced by Donaldson and developed by Li and Sano--Tipler, via finite dimensional approximations and generalized balanced metrics. As an application of our result and the recent construction of Koca--Tønnesen-Friedman, we describe the Kähler classes on a geometrically ruled complex surface of genus greater than 2, which admit conformally Kähler, Einstein-Maxwell metrics.

研究の動機と目的

• 定数$(\xi,a,p)$-スカラー曲率をもつケーラー計量、特にcKEM計量に対して$(\xi,a,p)$-Mabuchi汎関数の最小化を確立すること。
• Donaldson、Li、Sano–Tiplerの解析的アプローチをcKEMおよび一般化された$(\xi,a,p)$-スカラー曲率の設定に拡張すること。
• 種数が2より大きい幾何学的ルールド複素多様体上のケーラー類で、共形的ケーラー・アインシュタイン＝マクスウェル計量をもつものについての特徴づけを行うこと。
• $(\xi,a,p)$-Mabuchi汎関数の有界性を分析することにより、そのような計量の存在および非存在を解明すること。

提案手法

• ケーラー潜在関数の空間の有限次元近似を用いて$(\xi,a,p)$-Mabuchi汎関数を研究する。
• 近似スキームの主要な技術的道具として一般化されたバランスド計量を用いる。
• 文献[2, 31]で導入された$(\xi,a,p)$-スカラー曲率の枠組みを用い、スカラー曲率、キリングポテンシャルのラプラシアン、キリングベクトル場のノルムの重み付き組み合わせによって曲率を定義する。
• Mabuchi汎関数の臨界点条件を用いて、定数$(\xi,a,p)$-スカラー曲率をもつ計量が最小化子であることを特定する。
• $(\xi,a,p)$-Mabuchi汎関数がキリングポテンシャルのスケーリングおよび正規化に関して不変であることに依存する。
• 結果をルールド面上のCalabiアンサッツに適用し、プロファイル関数および関連する多項式$P_\kappa(z)$を用いてMabuchi汎関数の有界性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな偏極付き複素多様体上で共形的ケーラー・アインシュタイン＝マクスウェル計量が存在するならば、それが$(\xi,a,p)$-Mabuchi汎関数を最小化するのか？
• RQ2 与えられたケーラー類上で$(\xi,a,p)$-Mabuchi汎関数が下から有界となる条件は何か？
• RQ3 種数が2より大きい幾何学的ルールド複素多様体上で、共形的ケーラー・アインシュタイン＝マクスウェル計量をもつケーラー類はどれか？
• RQ4 $(\xi,a,p)$-Mabuchi汎関数の有界性は、定数$(\xi,a,p)$-スカラー曲率をもつ計量の存在とどのように関係するか？
• RQ5 多項式$P_\kappa(z)$の符号は、このような計量の存在または非存在を決定する上で果たす役割は何か？

主な発見

• $(\xi,a,p)$-Mabuchi汎関数は、定数$(\xi,a,p)$-スカラー曲率をもつ任意のケーラー計量、特にcKEM計量によって最小化される。
• 関連する多項式$P_\kappa(z)$が$(-1,1)$の任意の部分区間で負である場合、$(\xi,a,p)$-Mabuchi汎関数は下から有界でないため、そのような計量の非存在が示される。
• 種数>2の幾何学的ルールド面上では、共形的ケーラー・アインシュタイン＝マクスウェル計量は、$\kappa > \kappa_0(X)$を満たすケーラー類$\Omega_\kappa$にのみ存在する。ここで$\kappa_0(X)$は臨界値である。
• 有理数$\kappa$の稠密性と汎関数の解析接続を用いた背理法により、$\kappa \in (1, \kappa_0(X)]$ではcKEM計量が存在しないことが証明される。
• Calabiアンサッツ空間へのMabuchi汎関数の制限は、$P_\kappa(z)$およびシンプレクティックポテンシャルの2階微分の対数差の積分として明示的に表現される。
• $P_\kappa(z)$が負である場合、計量の空間内の特定の経路に沿って汎関数が$-\infty$に発散するため、有界性が確認されず、最小化子の非存在が裏付けられる。