[論文レビュー] Conformally Natural extensions revisited

Carsten Lunde Petersen|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、ドゥアディ＝アールの等角的自然拡張作用素を再考し、球面 $\mathbb{S}^n$ 上の可測自己準同型写像へその応用を拡張する。特に、ルベーグ測度の絶対連続性を保つ写像に限定する。拡張が球面 $\mathbb{B}^{n+1}$ から自身への実解析的写像を生成することを示し、$f(0) = 0$ を満たす有限ブレーシュケ積に対しては、原点を固定し、径方向区間を微分同相的に自分自身に写すことから、スケイプ積構造への動的共役性が示唆される。

ABSTRACT

In this note we revisit the notion of conformal barycenter of a measure on $\SS^n$ as defined by Douady and Earle in Acta Math. Vol 157, 1986. The aim is to extend rational maps from the Riemann sphere $\Cbar\isom\SS^2$ to the (hyperbolic) three ball $\BB^3$ and thus to $\SS^3$ by reflection. The construction which was pioneered by Douady and Earle in the case of homeomorphisms actually gives extensions for more general maps such as entire transcendental maps on $\C\subset\Cbar$. And it works for maps in any dimension.

研究の動機と目的

• ドゥアディ＝アールの等角的自然拡張を、ホメオモルフィズムを超えて $\mathbb{S}^n$ 上の可測写像のより広いクラスへ一般化すること。
• 有限ブレーシュケ積に対して、特に原点付近および径方向測地線に沿った挙動を含め、拡張が主要な動的性質を保存するかを調査すること。
• 拡張が径方向区間 $[\mathbf{0}, \mathbf{e}_3)$ を微分同相的かつ単調に自分自身に写すことの条件を確立すること。
• 特にスケイプ積構造への共役性を含む、拡張の位相的および動的意味を探索すること。

提案手法

• 確率測度上の $\mathbb{S}^n$ におけるドゥアディ＝アールの等角的重心構成を用いて、拡張作用素を定義する。
• メビウス変換群 $G$ の作用を用いて $G$-不変性を定義し、拡張の等角的自然性を保証する。
• 双曲等長変換を定義する式 $g_\mathbf{w}(\mathbf{x}) = \frac{\mathbf{x}(1-|\mathbf{w}|^2) + \mathbf{w}(1 + |\mathbf{x}|^2 + 2\langle \mathbf{w}, \mathbf{x} \rangle)}{1 + |\mathbf{w}|^2 |\mathbf{x}|^2 + 2\langle \mathbf{w}, \mathbf{x} \rangle}$ を $\mathbb{B}^{n+1}$ 内で用いる。
• 群 $G$ の作用による測度の押し出しとベクトル場変換を分析し、滑らかさおよび解析性を保証する。
• 等角的自然性を用いて、$E(\widehat{f})$ の解析を $f(0) = 0$ の場合に簡略化し、径方向挙動の研究を容易にする。
• 変数 $z, \overline{z}$ におけるべき級数展開を用い、$f(z) = z^d$ の場合に $\Phi(z) = z^d \sum_{k=0}^\infty a_k |z|^{2k}$ が成り立つことを示し、解析性および径方向構造を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限ブレーシュケ積で $f(0) = 0$ のとき、ドゥアディ＝アール拡張は原点を固定するか？
• RQ2 このような写像に対して、拡張は径方向区間 $[\mathbf{0}, \mathbf{e}_3)$ を微分同相的かつ単調に自分自身に写すか？
• RQ3 拡張の動的挙動は、$\mathbb{D} \times [-1,1]$ 上のスケイプ積構造へ共役可能か？
• RQ4 可測自己準同型写像でルベーグ測度の押し出しの絶対連続性を満たす場合、拡張は $\mathbb{B}^{n+1}$ の内部で実解析的であり、境界まで連続か？
• RQ5 可逆でない写像へ一般化された場合、等角的重心構成はホメオモルフィズムを超えてどのように一般化されるか？

主な発見

• $f(z) = z^d$ の場合、ドゥアディ＝アール拡張 $E(\widehat{f})$ は、$\mathbb{D}_t$ を $\mathbb{D}_{t^d}$ に、$d$ 位の分岐被覆として写す。
• $f(z) = z^d$ の場合、拡張 $E(\widehat{f})$ は区間 $[\mathbf{0}, \mathbf{e}_3)$ を微分同相的かつ単調に自分自身に写す。
• 偏微分 $\partial \Phi / \partial x_3(z)$ が $z \in \mathbb{D}$ で消えることから、$\partial \Phi / \partial x_3(z) = g(z) \mathbf{e}_3$ かつ $g(z) > 0$ であることが示され、径方向単調性が確認される。
• 可測自己準同型写像 $f: \mathbb{S}^2 \to \mathbb{S}^2$ で、ルベーグ測度の押し出しの絶対連続性を満たす場合、拡張 $E(\widehat{f})$ は $\mathbb{B}^3$ の内部で実解析的であり、閉包上で連続である。
• 等角的重心構成は、$f_*\eta_\mathbf{0}$ が $\eta_\mathbf{0}$ に関して絶対連続であるすべての可測自己準同型写像 $f$ に対して、等角的自然拡張を生成する。
• 拡張が $[\mathbf{0}, \mathbf{e}_3)$ を微分同相的かつ単調に自分自身に写すという予想は、$E(\widehat{f})$ の動的挙動が $\mathbb{D} \times [-1,1]$ 上のスケイプ積構造へ共役可能であることを示唆する。