[論文レビュー] Conforming Discrete Gradgrad-Complexes in Three Dimensions

Jun Hu, Yizhou Liang|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2020

Elasticity and Material Modeling参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、3次元におけるGradgrad複体の最初の適合有限要素空間族を構築し、離散的意味での正確性を保証する。これは、スカラー場の高次$H^2$-適合要素、$H(\operatorname{curl})$-適合対称テンソル場、および関連する発散適合テンソル空間を用いて達成され、線形化されたアインシュタイン＝ビアンキ系の安定な混合離散化を可能にする。

ABSTRACT

In this paper, the first family of conforming discrete three dimensional Gradgrad-complexes consisting of finite element spaces is constructed. These discrete complexes are exact in the sense that the range of each discrete map is the kernel space of the succeeding one. These spaces can be used in the mixed form of the linearized Einstein-Bianchi system.

研究の動機と目的

• 3次元における適合有限要素空間族を構築し、離散的意味での正確性を持つ最初の離散Gradgrad複体を形成すること。
• 電磁テンソル場の強い対称性を強制する条件下で、線形化されたアインシュタイン＝ビアンキ系の安定な混合有限要素離散化を可能にすること。
• 微分複体の理論を、高次正則性と正確性を伴う3次元における有限要素法へと拡張すること。
• より単純で実用的な手法の今後の開発の基盤を、厳密で適合的なフレームワークを確立することで提供すること。

提案手法

• ゼニセクとチャンの$C^1$-連続な分片多項式に基づき、次数9以上である$H^2$-適合有限要素を用いる。
• $C^0$-連続な対称テンソル空間へのバブル関数の拡張を用いて、$H(\operatorname{curl})$-適合対称テンソル有限要素を構築する。
• 部分単体（頂点、辺、面）における正則性を強化することで、離散複体の正確性を保証する。
• 電磁場に強い対称性を強制する混合変分形式を用いて、線形化されたアインシュタイン＝ビアンキ系を定式化する。
• クランク＝ニコルソンに類似した時間離散化を用いて、半離散および完全離散スキームを導出する。
• エネルギー推定と射影誤差の境界を用いて安定性および収束性を証明し、解の3階時間微分を含む項および射影の$L^2$ノルムを含む項を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元におけるGradgrad複体の適合有限要素離散化は、離散的意味での正確性を満たすように構築可能か？
• RQ2 対称テンソル場のための$H(\operatorname{curl})$-適合有限要素は、どのように設計すれば複体構造を保てるか？
• RQ3 離散複体の正確性を保証するために必要な有限要素の正則性条件は何か？
• RQ4 このような離散複体は、強い対称性を強制する線形化されたアインシュタイン＝ビアンキ系の混合有限要素法を安定化するために用いられるか？
• RQ5 得られる完全離散スキームの収束速度はどの程度達成可能か？

主な発見

• 本稿は、3次元における最初の適合離散Gradgrad複体族を構築し、連続Gradgrad複体の正確な部分複体を形成する。
• 離散複体は正確である：各離散微分作用素の像が次の作用素の核に等しく、安定性と一貫性を保証する。
• 正則性仮定の下で、エネルギーノルムにおいて最適収束率を達成する。空間的誤差境界は$O(h^k)$に比例し、時間的誤差は$O(\Delta t^2)$に比例する。
• 収束解析では、射影誤差と時間離散化誤差を含み、解の3階時間微分を含む項も考慮する。
• $H(\operatorname{curl})$-適合対称テンソル有限要素を用いることで、電磁テンソル場の強い対称性が保証される。
• 多項式次数が高く複雑であるが、将来的なより単純で実用的な手法の開発の理論的基盤を提供する。