[論文レビュー] Congruence properties of depths in some random trees

Svante Janson|ArXiv.org|Sep 21, 2005

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 31被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、一般化されたPólyaの urn と母関数を用いて、3 種類のランダム木—ランダム再帰的木（RRT）、ランダム二分探索木（BST）、条件付きGalton–Watson木（CGWT）—における頂点の深さのカウントを m で割った余りの漸近的分布を調査する。フェーズ遷移が存在することが判明した：RRT と BST では、深さ ≡ 0 mod m である頂点の数が、m ≤ 6（RRT）または m ≤ 8（BST）のときのみ漸近的に正規分布に従い、小までは分散が線形に増加し、より大きな m では線形より速く増加する。一方、CGWT ではこのような遷移はなく、すべての m に対して漸近的に正規分布に従う。

ABSTRACT

Consider a random recusive tree with n vertices. We show that the number of vertices with even depth is asymptotically normal as n tends to infinty. The same is true for the number of vertices of depth divisible by m for m=3, 4 or 5; in all four cases the variance grows linearly. On the other hand, for m at least 7, the number is not asymptotically normal, and the variance grows faster than linear in n. The case m=6 is intermediate: the number is asymptotically normal but the variance is of order n log n. This is a simple and striking example of a type of phase transition that has been observed by other authors in several cases. We prove, and perhaps explain, this non-intuitive behavious using a translation to a generalized Polya urn. Similar results hold for a random binary search tree; now the number of vertices of depth divisible by m is asymptotically normal for m at most 8 but not for m at least 9, and the variance grows linearly in the first case both faster in the second. (There is no intermediate case.) In contrast, we show that for conditioned Galton-Watson trees, including random labelled trees and random binary trees, there is no such phase transition: the number is asymptotically normal for every m.

研究の動機と目的

• さまざまなランダム木モデルにおける深さが j mod m に合同である頂点の数の漸近的分布を分析すること。
• このカウントが漸近的に正規分布に従う条件と従わない条件を特定すること。
• m の値に応じた分布的挙動のフェーズ遷移の発生を説明すること。
• 大きな m における非正規性が、手法の副作用ではなく、極限において本質的な振動的挙動であることを示すこと。

提案手法

• 深さカウント問題を一般化されたPólyaの urnモデルに翻訳し、深さクラスカウントのベクトルの漸近的挙動を分析する。
• 特に、 urn の遷移行列の第二固有値の実部を用いて、フェーズ遷移の閾値を特定する。
• Cramér–Wold の定理と複素正規近似を用いて、深さクラスカウントの同時漸近的正規性を評価する。
• 条件付きGalton–Watson木に対しては、母関数と特異点解析を用いて極限定理を導出する。
• m ≥ 7（RRT）および m ≥ 9（BST）における極限分布の本質的振動を、高次モーメントの数値計算により検証する。
• Z_m 上の離散フーリエ変換を用いて深さ分布を分解し、特性関数の挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダム再帰的木において、n → ∞ のとき、深さ ≡ 0 mod m である頂点の数が漸近的に正規分布に従うような m の値は何か？
• RQ2 深さクラスカウントの漸近的分布におけるフェーズ遷移は、何によって決定され、なぜ RRT では m = 7、BST では m = 9 で発生するのか？
• RQ3 RRT と BST において、深さクラスカウントの分散の増加率は m にどのように依存するか？
• RQ4 なぜ条件付きGalton–Watson木モデルは、RRT や BST とは異なり、同様のフェーズ遷移を示さないのか？
• RQ5 大きな m における極限分布で観察される振動は、正規化の副作用によるものか、それとも分布の本質的特徴なのか？

主な発見

• ランダム再帰的木では、偶数の深さ（m=2）の頂点数は漸近的に正規分布に従い、分散は線形に増加する。m=3,4,5 に対しても同様に成立する。
• m ≥ 7 のとき、深さ ≡ 0 mod m である頂点数は漸近的に正規分布に従わず、分散は線形より速く増加する。
• m=6 のとき、分布は漸近的に正規分布に従うが、分散は n log n の割合で増加するため、中間的なケースである。
• ランダム二分探索木では、m ≤ 8 のとき漸近的正規性が成立し、分散は線形に増加するが、m ≥ 9 のときには非正規となり、分散は線形より速く増加する。
• 対照的に、条件付きGalton–Watson木では、すべての m に対して深さ ≡ 0 mod m である頂点数が漸近的に正規分布に従い、フェーズ遷移は存在しない。
• 数値的検証により、RRT において m ≥ 7、BST において m ≥ 9 のとき、極限分布に本質的な振動が存在することが確認され、正規化の副作用ではないことが裏付けられた。